2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 第7课时 直线的参数方程课件 新人教A版选修4-4

第7课时直线的参数方程1．直线参数方程的标准形式经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程可表示为：______________(t为参数)．x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα这种形式称为直线参数方程的标准形式．(1)参数t的几何意义：______________________________________________________________________．若t＞0，则M0M→的方向向上；若t＜0，则M0M→的方向向下；若t＝0，则M与M0重合．(2)α是直线的倾斜角，α∈________．t|是直线上任意一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|[0，π)2．直线参数方程的一般形式______________(t为参数)．(1)斜率：k＝________；(2)一般形式中的参数t没有明确的几何意义且a2＋b2＝1一般不成立．x＝x0＋at，y＝y0＋btk＝ba1．若直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为()A．23B．－23C．32D．－32【答案】D【解析】直线参数方程的一般形式中k＝ba＝－32＝－32，也可化为普通方程得3x＋2y－7＝0，得k＝－32．2．直线y＝2x＋1的参数方程是()A．x＝t2，y＝2t2＋1(t为参数)B．x＝2t－1，y＝4t＋1(t为参数)C．x＝t－1，y＝2t－1(t为参数)D．x＝sinθ，y＝2sinθ＋1(t为参数)【答案】C【解析】A中x≥0，D中x∈[－1,1]，均不符合，B中化为普通方程为2x－y＋3＝0，不符．3．直线x＝1－2t，y＝2＋3t(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________．【答案】－6【解析】直线x＝1－2t，y＝2＋3t(t为参数)的普通方程为3x＋2y－7＝0，k1＝－32，直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k，两条直线垂直，∴k1·k2＝－1.∴k＝－6．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝1＋22t，y＝22t(t为参数)，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．【解析】曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，直线l的参数方程x＝1＋22t，y＝22t(t为参数)，化为普通方程为x－y－1＝0，曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为12＝22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24－12＝14．【例1】设直线l1过点A(2，－4)，倾斜角为5π6．(1)求l1的参数方程；(2)设直线l2：x－y＋1＝0，l2与l1的交点为B，求点B与点A的距离．运用参数t的几何意义求两点间的距离【解题探究】第一个问题可直接将值代入直线参数方程的标准形式即可，第二个问题可不需求交点坐标，因为点A为方程中的已知点，只需求出点B所对应的参数t，|t|即为AB的距离．【解析】(1)由直线参数方程得x＝2＋tcos5π6，y＝－4＋tsin5π6，即x＝2－32t，y＝－4＋12t(t为参数)．(2)将l1的参数方程代入l2的方程中，得2－32t－－4＋12t＋1＝0，∴3＋12t＝7，t＝143＋1＝7(3－1)，由t的几何意义可得|AB|＝|t|＝7(3－1)．利用参数的几何意义，解决与直线有关的距离问题比较常用，较为方便．1．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________．【答案】6(3＋1)【解析】由题意可得直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝5＋32t(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋12t－5＋32t－2＝0，解得t＝－6(3＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．【例2】过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)相交于A，B两点．求线段AB的长．【解题探究】由已知条件可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．运用参数t的几何意义求弦长【解析】直线的参数方程为x＝－3＋tcosπ6＝－3＋32t，y＝0＋tsinπ6＝12t(t为参数)．曲线x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)化为普通方程为x2－y2＝4.将直线的参数方程代入曲线的普通方程得－3＋32t2－12t2＝4，得t2－63t＋10＝0．设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝63，t1·t2＝10，|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝108－40＝217．(1)掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程．(2)由于直线的参数方程为标准参数方程，若A，B为直线上任意两点，它们所对应的参数为t1，t2，则|AB|＝|t1－t2|，就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要化方程为标准方程．2．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为x＝t，y＝m＋2t(t为参数)．当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为6？【解析】由题易得椭圆方程为y24＋x2＝1，化直线参数方程x＝t，y＝m＋2t(t为参数)为x＝55t′，y＝m＋255t′(t′为参数)．代入椭圆方程得m＋255t′2＋455t′2＝4⇔8t′2＋45mt′＋5m2－20＝0．当Δ＝80m2－160m2＋640＝640－80m20，即－22m22，方程有两不等实根t′1，t′2，则弦长为|t′1－t′2|＝t′1＋t′22－4t′1t′2＝640－80m28，依题意知640－80m28＝6，解得m＝±455．【例3】求以椭圆x2＋4y2＝16内一点A(1，－1)为中点的弦所在直线的方程．运用参数t的几何意义解中点弦问题【解题探究】利用若直线上任意两点所对应的参数为t1，t2，则它们的中点所对应的参数值为t1＋t22.而中点为直线参数方程上的已知点，所以t1＋t22＝0．【解析】设以A(1，－1)为中点的弦所在的直线方程为x＝1＋tcosα，y＝－1＋tsinα(t为参数)，把它代入x2＋4y2＝16得(1＋tcosα)2＋4(－1＋tsinα)2＝16，即(cos2α＋4sin2α)t2＋2(cosα－4sinα)t－11＝0，∵弦以A(1，－1)为中点，∴设交点所对应的参数为t1和t2，则有t1＋t22＝0．∴t1＋t2＝－2cosα－4sinαcos2α＋4sin2α＝0．∴cosα－4sinα＝0.∴tanα＝14．∴所求的直线方程为y＋1＝14(x－1)，即x－4y－5＝0．本题也可不利用参数方程，设直线的普通方程，利用根与系数的关系或点差法均可以解决问题．3．过点M(3,2)作椭圆x－2225＋y－1216＝1的弦．(1)求以M为中点的弦所在直线的方程；(2)如果弦的倾斜角不大于90°且点M到此弦的中点距离为1，求此弦所在直线的方程．【解析】(1)设过点M(3,2)的直线参数方程为x＝3＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数，α为倾斜角)．将其代入椭圆方程整理得t2(16cos2α＋25sin2α)＋2t(16cosα＋25sinα)－359＝0．∵M为弦的中点，∴tM＝t1＋t22＝0，∴16cosα＋25sinα＝0，得tanα＝－1625．故此弦所在直线的方程为16x＋25y－98＝0．(2)∵点M到弦中点的距离为t1＋t22且0≤α≤π2，∴16cosα＋25sinα16cos2α＋25sin2α＝1，即16cosα＋25sinα＝16cos2α＋25sin2α．∵cosα≥cos2α，sinα≥sin2α，∴等式成立的充要条件是cosα＝cos2α且sinα＝sin2α，从而倾斜角α只能为0°和90°，故此时过点M(3,2)的弦所在直线的方程分别为y＝2或x＝3．1．只有在标准形式中，参数t才有几何意义：设直线上任一点M(x，y)对应的参数为t，则|M0M|＝|t|．2．设A，B为直线上任意两点，它们所对应的参数为t1，t2，则|AB|＝|t1－t2|，线段AB的中点对应的参数值为t1＋t22.