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第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第2课时排列的综合应用学习目标核心素养1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.合作探究提素养无限制条件的排列问题【例1】(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？[思路点拨](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．元素“相邻”与“不相邻”问题【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．[思路点拨]相邻捆绑，不相邻插空．[解](1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．C[5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．]2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18B．24C．36D．48元素“在”与“不在”问题[探究问题]有4名男生、5名女生，全体排成一排，则甲不在中间，也不在两端有多少种不同排法？(1)用元素分析法，以甲为研究对象，如何解答？(2)用位置分析法，以中间和两端三个位置为研究对象，如何解答？(3)用间接法，如何解答？(4)用等机会法，如何解答？[提示](1)先排甲有6种排法，其余有A88种不同排法，故共有6A88＝241920种排法．(2)中间和两端共有A38种不同排法，其余6人共有A66种不同排法，故共有A38·A66＝336×720＝241920种排法．(3)共有A99－3A88＝6A88＝241920种排法．(4)甲排在任何一个位置都是等可能的，故甲不在中间也不在两端的排法，共有69A99＝241920种排法．【例3】(1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．(用数字回答)(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？①六位数且是奇数；②个位上的数字不是5的六位数．[思路点拨](1)可以用直接法或间接法求解，注意“化学”这个特别元素．(2)注意“0”这个特殊元素及个位这个特殊位置．300[(1)法一：(分类法)分两类．第1类，化学被选上，有A13A35种不同的安排方法；第2类，化学不被选上，有A45种不同的安排方法．故共有A13A35＋A45＝300种不同的安排方法．法二：(分步法)第1步，第四节有A15种排法；第2步，其余三节有A35种排法，故共有A15A35＝300种不同的安排方法．法三：(间接法)从6门课程中选4门安排在上午，有A46种排法，而化学排第四节，有A35种排法，故共有A46－A35＝300种不同的安排方法．](2)[解]①法一：从特殊位置入手(直接法)：第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A13A14A44＝288(个)．法二：从特殊元素入手(直接法)：0不在两端，有A14种排法；从1,3,5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个)．法三：(排除法)从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0,2,4在个位上的排列数为3A55，而1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数为3A44，故符合题意的六位数奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．②法一：(排除法)6个数字的全排列有A66个，0在十万位上的排列有A55个，5在个位上的排列有A55个，0在十万位上且5在个位上的排列有A44个，故符合题意的六位数共有A66－A55－(A55－A44)＝504(个)．法二：(直接法)个位上不排5，有A15种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有A55种排法；第二类，当个位上不排0时，有A14·A14·A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14·A14·A44＝504(个)．1．本例条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？[解]个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A45个；若个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项？[解]由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，所以240135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240135是数列的第193项．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．解有限制条件的排列问题的基本思路限制条件解题策略特殊元素通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊位置通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中当堂达标固双基C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．2402．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．