（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题七 选考部分 第1讲 坐标系与参数方程学案 理 新人教A版

-1-第1讲坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1，0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；-2-(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2(1＋t2)2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用[典型例题](2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解】(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．-3-所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．③将直角坐标方程中的x换成ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．(2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[对点训练]1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l1的极坐标方程式为ρcosθ＝0，即θ＝π2(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0.(2)设A(π2，ρ1)、B(π4，ρ2)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋2.-4-故△OAB的面积为12×(1＋2)2×sinπ4＝1＋324.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.参数方程及其应用[典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．【解】(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos-5-α＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4(2cosα＋sinα)1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋t22.②|PM|＝|t0|＝t1＋t22.③|AB|＝|t2－t1|.④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[对点训练]1．已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|-6-取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝4cosθy＝2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝t＋3，y＝2t－23(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求|AB|的值；(2)若F为曲线C的左焦点，求FA→·FB→的值．解：(1)由x＝4cosθy＝2sinθ(θ为参数)，消去参数θ得x216＋y24＝1.由x＝t＋3，y＝2t－23消去参数t得y＝2x－43.将y＝2x－43代入x2＋4y2＝16中，得17x2－643x＋176＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝64317，x1x2＝17617.所以|AB|＝1＋22|x1－x2|＝517×(643)2－4×17×176＝4017，所以|AB|的值为4017.(2)由(1)得，F(－23，0)，则FA→·FB→＝(x1＋23，y1)·(x2＋23，y2)＝(x1＋23)(x2＋23)＋(2x1－43)(2x2－43)＝x1x2＋23(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－23(x1＋x2)＋12]＝5x1x2－63(x1＋x2)＋60＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以FA→·FB→的值为44.极坐标方程与参数方程的综合应用[典型例题](2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为-7-x＝1＋35t，y＝1＋45t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ，点P的极坐标为(2，π4)．(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)(一题多解)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.【解】(1)由ρ2＝21＋sin2θ得ρ2＋ρ2sin2θ＝2①，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为x22＋y2＝1.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为(2，π4)，所以x＝ρcosθ＝2cosπ4＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝1.所以点P的直角坐标为(1，1)．(2)法一：将x＝1＋35t，y＝1＋45t代入x22＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝80000，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－11041.依题意，点M对应的参数为t1＋t22，所以|PM|＝|t1＋t22|＝5541.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.由x＝1＋35ty＝1＋45t，消去t，得y＝43x－13