数学建模培训课程体系设计探讨

数学建模培训课程体系设计探讨王茂芝，徐文皙，郭科（成都理工大学信息管理学院，四川成都610059）摘要：数学建模培训的目标是培养学生应用数学解决实际问题的能力．对参与数学建模培训的学生的能力要求主要包括：对数学学科的宏观驾驭能力，分析和解决问题以及数学建模的能力，数学模型的求解能力以及对计算机工具和数学软件的使用能力，数学迁移能力和创新能力等．数学建模培训课程体系设计包括以下几个阶段：准备阶段，建模预处理阶段，专题培训阶段及模拟和实战阶段．关键词：数学建模；工科数学；数学教学改革中图分类号：G642.3，O29文献标识码：A文章编号：1004–9894（2005）01–0079–03全国大学生数学建模活动对于全方位提高学生的素质和能力；提升教师的教学水平、业务能力和科研水平；促进工科数学的教学改革等方面都起到了积极有效的推动作用．《数学模型》和《数学实验》课程的开设，数学实验室的建立等多种教学方式、措施和手段的出现都是数学建模活动的开展带来的实际教学改革成果．本文作者根据多年来组织、指导全国大学生数学建模的实际，针对在数学建模培训过程中所讲授的内容以及开设的专题，从数学学科的角度对数学建模培训课程体系的设置进行一些探讨．1数学建模培训的目标数学建模是把数学作为一种工具，并应用它解决实际问题的教学活动方式．由于实际问题背景的复杂性和广泛性，同时也因为数学学科涵盖范围的广泛性，导致在数学建模培训过程中相关课程（或专题）的开设既要考虑到点，又要照顾到面．在点和面相结合的同时，重点培养并提高学生的多种能力．这样才能达到应用数学解决实际问题的目的[1~3]．由于大学生数学建模竞赛的主要参赛对象是大学二、三年级的学生，所以参与培训的学生一般都具有一定的数学基础（基本都学过《线性代数》《高等数学》《概率论与数理统计》这3门基础课程）．同时，由于数学建模集中培训（集训）的时间有限，不可能在这么短的时间里把数学的相关基础课程和专业课程进行详尽地讲解．比较现实和可行的方法是：根据数学建模的目标要求以及数学学科的特点，通过开设一些专题讲座，有针对性地提高学生的能力．1.1数学建模培训的能力要求经过多年的实践和探索，我们认为对于参与数学建模培训的学生的能力要求有以下几个方面．第一是对数学学科的宏观驾驭能力．也就是通过培训，使学生对数学的学科划分、专业设置、相关课程设置、学科特点等都有一定的理解和认识．这实际上是一个占领制高点的过程，对于后续课程有一个清晰的脉络和清醒的认识．这一步的完成在很大程度上可以使整个培训过程达到事半功倍的效果．但前提是要求参与培训讲解的指导老师需要有较好的数学素养．第二是对于一个给定的复杂问题背景，要学会理清两个问题．一是透过问题背景知道告诉了我们什么已知信息；二是要求我们明确做什么，解决什么问题．然后紧密联系上面两个问题，实现两个量化．一是对已知条件的符号化和量化；二是对需解决问题的转化和量化．最后，再联系自己对数学知识的把握、对数学建模方法的领悟，借助一系列数学工具（方程、函数、矩阵、向量等）把量化后的符号（变量）组织起来建立数学模型．第三是数学模型的求解能力，以及对计算机和数学软件的使用能力．这主要是涉及到对计算数学相关课程的熟悉和理解、计算机编程、数学软件的使用这3个方面的内容．第四是数学迁移能力和创新能力．在数学建模和对模型的求解过程中都要求学生有较强的领悟能力和迁移能力，同时还要求在这种迁移过程中发挥自身的创造性．这个过程可以说是数学建模培训以及数学建模竞赛的核心和灵魂所在．第五是自学能力、领悟能力以及查阅和搜集资料的能力．数学建模培训过程中一般会在每一个专题之后布置大量的参考书籍供学生课后自学．所以要求学生要有较强的自学能力和领悟能力，同时还要学会使用计算机和网络资源查找和搜集所需资料，这是一个必不可少的环节和过程．第六是良好的协调和协作能力．数学建模过程是一个团队的集体行为，所以需要有良好的协调和配合能力．同时，数学建模的过程往往是一个反复和完善的过程，在这个过程中通常会不可避免地遇到一些问题，没有良好的心理素质和协作精神是很难完成的．这已成为一个小组数学建模竞赛是否成功的一个决定性非技术因素．第七是要有良好的写作能力．这实际上是在良好的数学驾驭能力、较强的抽象品质这两个前提下，再配以一定的写作方法和技巧来完成论文的写作过程．收稿日期：2004–10–09基金项目：四川省自然科学基金重点资助项目（2003A143）；成都理工大学资助项目（R230246-3）作者简介：王茂芝（1974—），男，江西吉安人，硕士，主要从事智能计算技术和小波分析技术及其应用研究．80数学教育学报第14卷1.2数学建模培训的目标我们认为，经过数学建模培训要达到的目标有以下几个方面．（1）认识数学的学科特点和分类，一定程度上提高数学修养，提升宏观驾驭和应用数学的能力．（2）针对各种不同的复杂问题背景，能够实现两个转化：实际问题的数学量化和描述（数学模型的建立）以及数学模型求解和求解结果的实际解释和反馈（模型求解和检验）．（3）增强良好的心理素质和团队精神．（4）掌握常用数学软件的使用技巧，以及熟练使用网络资料查找和搜集资料．（5）提高数学建模写作水平．2数学建模培训课程体系设计针对上述对数学建模培训的能力和目标，在培训过程中，我们分阶段开设了一系列的课程（专题）来实施．具体来讲，有以下4个阶段以及相应的专题课程．（1）第一阶段为准备阶段．这个阶段主要完成3个方面的工作．一是和学生探讨数学学科的专业划分、课程设置、专业特点等问题，让学生结合自身所学数学知识认识数学的学科特点，提高其宏观驾驭能力；二是介绍如何应用计算机网络资源实现文献查找和资料搜集；三是介绍常用数学工具软件的功能、使用方法、编程技巧等内容．值得注意的是，这一阶段3方面的工作是一直贯穿整个数学建模培训过程始终的，是一个随着培训过程进行逐步提高和完善的过程．（2）第二阶段为建模预处理阶段，这个阶段主要完成数据分析和处理工作．培养学生根据问题背景提取数据并对数据进行分析和处理的能力．介绍常见的数据分析和处理方法：如回归分析、相关分析、聚类分析、主成分分析以及其它一些降维处理技术等多元数理统计中常见的对数据进行分析和处理的方法和理论．还可以介入一些对数据进行插值和拟合的方法和思想．（3）第三阶段是专题培训阶段．这个过程主要是根据数学建模竞赛的特点和数学学科的专业划分以及课程设置等来展开，这是整个建模培训过程的重心．一系列的能力培养和形成以及完善都是在这一阶段实现的．按照数学建模的竞赛章程，一般都是按连续和离散两个大的方向来设置赛题．我们在培训的过程中设置了连续、离散和随机3个大的方向．对于连续这一方向，展开的知识有：数学物理方程的方程类型划分以及数值解法、微分方程的定性和稳定性理论、积分和微分的数值计算方法、空间曲面的插值和拟合方法．展开的主要模型有传染病模型、人口增长模型、确定毒品走私船位置模型、一维和二维数据的插值与拟合模型（海底曲面插值以及估计水塔水流量模型）等．对于离散方向，主要是从运筹与优化的角度展开．具体展开的知识有：组合数学、运筹学、图论、人工神经网络、遗传算法、层次分析法、计算机模拟等．讲解和讨论的模型主要有：通讯网络的极小生成树、图论和网络流模型、应急设施的优化选址问题、蠓虫分类问题、线性规划模型、非线性多目标优化问题的转化处理方法、彩票问题、电力修复系统的层次分析法模型、基于蒙特卡罗的计算机模型等．对于随机方向，展开的知识有：排队论、随机过程以及时间序列分析的基础知识和基本概念．展开讨论的问题有：公交车的优化调度、股票（或天气）预测和分析等．最后，在上述3个方向相应的知识点和模型讲解以及讨论之后，再集中一到两次课的时间对一些带有交叉和综合性质的问题进行探讨．这个过程也是一个全面回顾以及提升的过程．考虑到实际建模问题背景的高度复杂性、非线性性、多目标性、高维性以及优化特性，有针对性地在方法和算法上进行综合．这个过程抓住实际问题的优化特性，抽出其共性，以TSP问题为背景，围绕其求解方法进行展开．具体地讲，由于TSP问题是检验一个算法是否适合于求解一个大规模、非线性问题的“标尺”，所以从求解TSP的经典方法进行补充往往对于实际的建模和模型求解的算法构造具有很强的指导意义．这个过程将以TSP问题的求解为中心展开3个专题：遗传算法应用于组合优化计算，连续Hopfield神经网络应用于优化计算，以及蚂蚁算法应用于TSP问题的优化计算．通过这3个专题的展开，还让学生认识到：在构造非线性优化算法时，通常所构造的算法都具有在优化目标搜索方向指导下的随机性以及潜在的并行性．同时再适当补充一些其它带有启发式思想的方法和内容．通过上述3个环节，对于培训学生来说，从知识结构以及能力要求上基本已经具备建模和模型求解的能力了．（4）第四阶段为模拟和实战阶段．这一阶段是培训学生以小组形成针对一个选定的模拟题目用3天的时间完全按照数学建模竞赛的要求完成问题分析、模型建立和求解、论文写作等环节．同时，培训教师针对各小组存在的问题进行指导．通过这一阶段，全面培养和提升培训学生的宏观驾驭能力、分析和解决问题的能力、数学建模能力、数学的迁移和创新能力．同时，通过实战的磨合，培养和形成良好的心理素质、健全的人格、良好的协作和协调能力以及写作能力．通过上面的分析和描述可以发现，从数学学科以及专业的角度，数学建模的培训过程实际上是一个跨学科、跨专业并且综合性和应用性都非常强的过程．它所展开的内容几乎涵盖了数学学科5个专业方向的相关课程．实践表明，我们制订的培训计划具有较强的科学性、合理性以及可操作性，并受到学生的欢迎和指导老师的肯定．在这一培训计划的指导下（从1999年开始实施），成都理工大学校数学建模竞赛成绩一直都在四川省的前列．3几点思考与建议数学建模活动是一个培养、形成以及全方位提高学生能力的过程．而数学建模的集中培训是一个时间很短的过程，所以，为配合整个数学建模活动的开展，还需要在培训之外做一系列的前期工作以及辅助活动．为此，我们采取了一系第1期王茂芝等：数学建模培训课程体系设计探讨列的措施来保障数学建模活动的顺利进行．这些措施包括：（1）成立数学协会和数学建模兴趣小组，由指导教师组织其开展活动；（2）开设公共选修课程《数学模型》作为集中培训前的数学建模入门课程；（3）建立数学实验室以及开设《理工数学实验》课程，激发学生学习数学的兴趣；（4）聘请专家开设一系列关于数学建模的专题讲座和报告，拓宽学生的视野和认识等．经过多年对数学建模培训课程的教学实践，以及与其它工科数学课程教学的对比．我们对目前高校的专业划分、课程设置、教学方法、培养目标等都做过一些探讨和思索．文[4]~文[8]对此也有一定程度的探讨，本文仅对此谈几点粗浅的认识．就专业划分和课程设置而言，我们比较倾向于当前某些高校实施的在专业相对固定的前提下，自由（跨学科、跨专业、甚至跨学校）选择专业基础课程和其它相关课程的做法；就教学方法而言，传统的课堂式讲解和灌输式教学应在条件许可的前提下进行调整，讨论式教学和实践教学是值得提倡的两种教学方法；对于培养目标，就知识和能力的关系问题而言，本文作者认为知识和能力是互补的，但作为教学来说，传授知识并不是教学的最终目的，传授知识应该是教学的一个过程，培养和形成能力才是教学的目的所在．由于数学建模培训过程是一个繁杂的系统工程：不仅要对参训学生进行知识传授，而且还要在短时间内，使得参训学生多方面的能力得到培养和提高、心理素质得到锻炼、人格得到健全和完善等．在这个过程中，我们有如下几点建议供同行参考：（1）建议学校、学院乃至系、部要重视并提供支持和协调，这包括培训教师队伍的组建、培训过程的后勤保障等工作；（2）建议指导教师队伍要基本稳定，特别是核心指导教师要有高度的责任感和奉献精神；（3）建议指导教师队伍最好要有一定的科研经历，应具备一定的学科敏感性、数学修养以及抽象品质，并且要对内和对外不断进行交流和提高；（4）建议数学建模要和工科数学的教学改革建立联系，使之系统化和理论化，形成教学成果，并指