专升本高等数学测试题(答案)

专升本高等数学测试题1.函数xysin1是（D）．（A）奇函数；（B）偶函数；（C）单调增加函数；（D）有界函数．解析因为1sin1x，即2sin10x,所以函数xysin1为有界函数．2.若)(uf可导，且)e(xfy，则有（B）；（A）xfyxd)e('d；（B）xfyxxde)e('d；（C）xfyxxde)e(d；（D）xfyxxde)]'e([d．解析)e(xfy可以看作由)(ufy和xue复合而成的复合函数由复合函数求导法xxufufye)(e)(，所以xfxyyxxde)e('dd．3.0dexx=(B);(A)不收敛;(B)1;(C)－１;(D)0.解析0dexx0ex110．4.2(1)exyyyx的特解形式可设为（A）；(A)2()exxaxb；(B)()exxaxb；(C)()exaxb；(D)2)(xbax．解析特征方程为0122rr，特征根为1r=2r=1．=1是特征方程的特征重根，于是有2()expyxaxb．5.yxyxDdd22(C)，其中D：1≤22yx≤4；(A)2π4201ddrr；(B)2π401ddrr；(C)2π2201ddrr；(D)2π201ddrr．解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．当sincosryrx时，ddddxyrr，由于1≤22yx≤4，D表示为21r，02π，故yxyxDdd22ddDrrr2π2201ddrr．6.函数y=)12arcsin(312xx的定义域解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即,112,03,032xxx推得,40,33xx即30x,因此，所给函数的定义域为)3,0[.7.求极限xxx222lim2=解：原式=)22)(2()22)(22(lim2xxxxx=221lim2xx=41.（恒等变换之后“能代就代”）8.求极限xttxxπcos1dπsinlim11=解：此极限是“00”型未定型，由洛必达法则，得xttxxπcos1dπsinlim11=)πcos1()dπsin(lim11xttxx=π1)π1(limπsinππsinlim11xxxx9.曲线,,3tytx在点（1，1）处切线的斜率解：由题意知：,1,13tt1t,33)()(dd12131ttttttxy,曲线在点（1，1）处切线的斜率为310.方程0'2''yyy,的通解为解：特征方程0122rr,特征根121rr,通解为xxCCye)(21.11.交错级数)1(1)1(11nnnn的敛散性为（4）11)1(1)1(nnnn=1)1(1nnn,而级数1)1(1nnn收敛，故原级数绝对收敛.12.xxx)11(lim2.（第二个重要极限）解一原式=10])11[(lim)11(lim)11()11(limxxxxxxxxxxx=1ee1，解二原式=)1()(2])11[(lim2xxxx=1e0．13.)]1ln(11[lim20xxxx解所求极限为型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或型.)]1ln(11[lim20xxxxxxxxxxx2111lim)1ln(lim02021)1(21lim)1(211lim00xxxxxx.14.设xxxfe)(，求)('xf.解：令xxye,两边取对数得：xyxlneln,两边关于x求导数得：xxyyxxelne'1)elne('xxyyxx即)elne('exxxyxxx.15.求3)(xxf+23x在闭区间5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：xxxf63)(2,令0)(xf,得2,021xx,66)(xxf,06)0(f,06)2(f,∴)(xf的极大值为)2(f4，极小值为0)0(f.∵50)5(f,200)5(f.∴比较)5(),0(),2(),5(ffff的大小可知：)(xf最大值为200，最小值为50.16.求不定积分xxd111.解：令tx1,则x12t,ttxd2d,于是原式=tttd12=tttd1112=]1dd[2ttt=Ctt1ln22=Cxx11ln212.17.求定积分40d11xxx.解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令xt，x2t，ttxd2d，当0x时，0t，当4x时，2t，于是40d11xxx=20d211tttt=20d]1424[ttt.3ln44021ln442ttt18.求方程(ee)d(ee)d0xyxxyyxy的通解；解整理得e(e1)de(e1)dxyyxxy，用分离变量法，得eedde1e1yxyxyx，两边求不定积分，得ln(e1)ln(e1)lnyxC，于是所求方程的通解为e1e1yxC，即e1e1yxC．19.xyuxsine,求)0,1()1,0(,yuxu.解：因)cos(sinecosesinexyyxyyxyxyxuxxx,xxyyuxcose,1)0cos0(sine0)1,0(xu,e)10(cose)0,1(yu.20.画出二次积分xyxfyyyd,d22424220的积分区域D并交换积分次序.解：D：242242,20yxyy的图形如右图，由图可知，D也可表为,40,402xxyx所以交换积分次序后，得yyxfxxxd,d24040.21.求平行于y轴，且过点)1,5,1(A与)3,2,3(B的平面方程.解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以jn.又因为平面过点A与B，所以必有nAB.于是，取n=jAB,而AB={2，7，4}，所以n=472010kji=ki24，因此，由平面的点法式方程，得0)1(2)5(0)1(4zyx，即032zx.解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为0DCzByAx,由于平面平行于y轴，所以0B，原方程变为0DCzAx，又所求平面过点A(1,5,1)与B(3,2,3)，将BA,的坐标代入上述方程，得,033,0DCADCA解之得CA2,CD3,代入所设方程，故所求平面方程为032zx.Oxy24