素养拓展20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（原卷版）

1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展20累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精练）一、累加法形如1()nnaafn型的递推数列（其中()fn是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1)...nnnnaafnaafnaaf将上述2m个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若()fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和；④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．二、累乘法形如1()nnaafn1()nnafna型的递推数列（其中()fn是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1)...nnnnafnaafnaafa将上述2m个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan三、构造法1.第一种形式：形如1nnapaq（其中,pq均为常数且0p）型的递推式（1）若1p时，数列{na}为等差数列；（2）若0q时，数列{na}为等比数列；（3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：一、知识点梳理2法一：设1()nnapa，展开移项整理得1(1)nnapap，与题设1nnapaq比较系数（待定系数法）得1,(0)()111nnqqqpapappp1()11nnqqapapp，即1nqap构成以11qap为首项，以p为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na法二：由1nnapaq得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列．求出1nnaa的通项再转化为累加法便可求出.na2.第二种形式：形如1()nnapafn(1)p型的递推式（1）当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设1(1)nnaAnBpaAnB，通过待定系数法确定、AB的值，转化成以1aAB为首项，以!！mnnAnm为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()nnapafn，1(1)nnapafn两式相减得：11()nnnnaapaad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为第一种形式，求出nb，再用累加法便可求出.na（2）当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1()(1)nnafnpafn，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以!！mnnAnm为公比的等比数列()nafn，再利用等比数列的通项公式求出()nafn的通项整理可得.na法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()nnapafn——①，1(1)nnapafn，两边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn——②，由①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa，即11nnnnaqapaqa，在转化为第一种形式便可求出.na3法三：递推公式为1nnnapaq（其中p，q均为常数）或1nnnaparq（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：111nnnnaapqqqq，引入辅助数列nb（其中nnnabq），得：11nnpbbqq再应用类型第一种形式的方法解决．（3）当()fn为任意数列时，可用通法：在1()nnapafn两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp，令nnnabp，则11()nnnfnbbp，在转化为累加法，求出nb之后得nnnapb．【典例1】在数列na中，10a，121(2)nnaann.求na的通项公式.【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.【详解】因为121(2)nnaann，所以当2n时，21324311nnnaaaaaaaaaa357210n13212nn21n，又10a适合上式，所以21nan.【典例2】已知数列{𝑎𝑛}，𝑎1=1，(𝑛＋1)𝑎𝑛+1＝𝑛𝑎𝑛，求通项公式𝑎𝑛.【答案】𝐚𝐧＝1n【分析】由题得1nnaa＝1nn，再利用累乘法求解.【详解】∵(𝐧＋𝟏)𝐚𝐧+𝟏＝𝐧𝐚𝐧，，∴1nnaa＝1nn.∴324123123,,,,234aaaaaa1nnaa＝1nn(n≥2)．以上各式相乘，得11naan.∵𝐚𝐧＝11ann(n≥2)又𝐚𝟏＝1满足上式，∴𝐚𝐧＝1n(n∈N*)．二、题型精讲精练4【典例3】已知数列na中，12a，且对任意*nN，都有121nnaa．求数列na的通项公式；【分析】(1)构造等比数列求通项；【详解】（1）由121nnaa得1121nnaa又111a，所以数列1na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以111122nnna，所以121nna.【题型训练1-刷真题】一、单选题1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列na满足21111,3nnnaaaanN，则（）A．100521002aB．100510032aC．100731002aD．100710042a2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S二、解答题3．（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa．【题型训练2-刷模拟】1.累加法一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）数列na满足11a，且11()nnaannN，则数列na的通项公式为（）A．(1)2nnnaB．212nnaC．(-1)2nnnaD．2nann52．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足111,32(2)nnaaann，则na的通项公式为（）A．23nanB．23nannC．232nnnaD．232nnna3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12nnnaa，11a，则5a（）A．30B．31C．22D．234．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足112a，121nnaann，则{}na的通项为()A．1,1,NnnnB．31,1,N2nnnC．31,1,N2nnnD．31,1,N2nnn5．（2023·全国·高三专题练习）若数列na满足11lg1nnaan且11a，则数列na的第100项为（）A．2B．3C．1lg99D．2lg996．（2023·全国·高三专题练习）已知nS是数列na的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：11122nnnaa，若112a，则2023S（）A．20232024B．20222023C．20212024D．101020237．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足112nnnana，*Nn，且11a，则2022a（）A．6065B．6064C．4044D．40438．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，12a，11ln(1)nnaan，则naA．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足133a，12nnaan，则nan的最小值为（）A．10.5B．10.6C．10.4D．10.7二、填空题10．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，111,72nnaaan，则数列na中最大项的数值为．11．（2023·全国·高三专题练习）设数列na满足21112,32nnnaaa，则na=.12．（2023·全国·高三专题练习）数列na满足11a，且对任意的*nN都有11nnaan，则数列1na的前100项的和为.613．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的各项均不为零，且满足11a，111nnnaana（2n，*Nn），则na的通项公式na．14．（2023·全国·高三专题练习）数列na中，11101nnaaann，且9na，则n.三、解答题15．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列*nbnN的首项为1，公差为2.数列na满足1nnnaab(1)求na取得最小值时n的值；(2)若134a，证明：1211143naaa.16．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在数列na中，13a，121nnnaa.(1)证明：数列nan是等比数列；(2)求数列2nna的前n项和nS.17．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列na满足：13a，1*122,Nnnnaann．(1)求数列na的通项公式；(2)令211log1nnnnbaa，求数列nb的前n项和nT．18．（2023·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含()fn个小正方形.(1)求出(5)f；(2)归纳出(1)fn与()fn的关系式，并根据你得到的关系式求()fn的表达式；7(3)求证：11113(1)(2)1(3)1()12ffffn.19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列na的前n项和为nS，且11a，2111241nnaan．(1)求数列na的通项公式；(2)设函数12xfxx，且nnbfa，求数列nb的前n项和nT．20．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列na满足1112322,1,2nnnaaanaa.(1)求数列na的通项公式；(2)在数列na的任意ka与1ka项之间，都插入*Nkk个相同的数(1)kk，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，求27T的值.2.累乘法一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足11nnnaa，且11a，则1819aa（）A．2B．0C．1D．22．（2023·全国·高三专题练习）已知11a，1nnnanaanN，则数列na的通项公式是na（）A．