等差数列知识点总结

等差数列1.定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为daann1（d为常数）（2n）；2．等差数列通项公式：（1）*11(1)()naanddnadnN（首项:1a，公差:d，末项:na）（2）dmnaamn)(．从而mnaadmn；3．等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的证明方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。注：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）7.等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.注：23121nnnaaaaaa，图示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321(4)若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321（5）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.（6）若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列练习：1.等差数列}{na中，33,1112Sa，求}{na的通项公式。2.等差数列}{na前n项和记为nS，已知3010a，.5020a（1）求通项na；（2）若242nS，求.n3.若69121520aaaa求20S4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？