2017分类讨论思想专题

二次函数压轴题之分类讨论思想专题第1页共13页序篇[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：(1)点C在线段AB上：(2)点C在线段AB的延长线上NMABCNMABC例2下列说法正确的是（）A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。B、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）CNMAOBCNMAOB[练习]已知oAOB60,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。（1）射线OC在AOB内（2）射线OC在AOB外BAOCEDBAEDOC这两种情况下，都有ooAOB60DOE=3022小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC的大小不确定，但是所求的DOE与AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。[三角形中分类讨论思想的应用]1、三角形的形状不定需要分类讨论ABC1C2二次函数压轴题之分类讨论思想专题第2页共13页例4、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且ADBDDC2·，则∠BCA的度数为_____________。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当△ABC的高在形内时，由ADBDDC2·，得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。由ADBDDC2·，得△ABD∽△CAD所以∠B＝∠CAD＝25°∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°2、等腰三角形的分类讨论：a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得,1221,921yxxx或.921,1221yxxx解得,9,6yx或.5,8yx即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A.30°B.75°C.105°D.30°或75°[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论二次函数压轴题之分类讨论思想专题第3页共13页例7、已知x，y为直角三角形两边的长，满足xyy224560，则第三边的长为_____________。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。例8、如图所示，在ABC△中，64ABACP，，是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以APQ、、为顶点的三角形和以ABC、、为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）例2等腰三角形腰上的高是腰的一半，则该角的度数为＿＿＿.例3已知BD、CE是ΔABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个是50°，则∠BAC＝_______.例4菱形有一内角为120°，有一条对角线为6cm，则此菱形的边长为________cm.按图形的位置分类（如坐标系中点的位置，点与直线的位置关系）例5在平面直角坐标系中，点A（－2,5）B（－3，－1），C（1，－1），请你再找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.请写出点D的坐标为.例6已知在ΔABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，ΔABC绕点B顺时针旋转至ΔA’BC’的位置，使A、B、C’三点在一条直线上，则AA’＝＿＿＿.例7如图，第一象限的点A在反比例函数的图象上，过A作AB⊥x轴，垂足为B，连结AO，已知ΔAOB的面积为4，(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴交于点P(异于点0)，且ΔAPB与ΔAOB相似，求所有符合条件的点P的坐标.1.已知A（0,0），B（0,3）两点，在坐标平面内确定某点的坐标，使顺次连接三点所组成的图形是等腰直角三角形（请作出图形，并在图上标出各顶点的坐标）.2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为BC边的中点，若P为DC上一动点，连结BP，过点O作直线l⊥BP交AB（或AD）于点Q．（1）设DP＝t（0＜t＜2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式．（2）当点Q落在AD（不含端点）上时，问：以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由．例、已知：点A（-1，0），B(0，3)，作直线x=1，在直线x=1上找一点P,使△ABP为等腰三角形，并求出P点坐标。ACBPODCBA二次函数压轴题之分类讨论思想专题第4页共13页二、学以致用变式1在直线x=1上是否存在点Q，使△ABQ是直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.2、已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=252，O为BC上一点，BO=72，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）4、如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.二次函数压轴题之分类讨论思想专题第5页共13页⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．已知一边构造等腰三角形专题等腰三角形中的分类讨论问题1：如图点A（2，1），在坐标轴上找一点B，使△AOB是等腰三角形，情形1：当OB=AB(即OA为△AOB的底边)时，作OA的中垂线，和x、y轴分别交于，情形2：当AB=AO(OA为腰且A为顶点)时，以A为圆心，AO长为半径画圆,情形3：当AO=OB(OA为腰且O为顶点)时，以O为圆心，AO长为半径画圆，请下结论：这样的点B一共有个.问题2：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A．6B．7C．8D．9问题3：正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面内确定一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法），并写出它们的坐标（看看谁能找全）二次函数压轴题之分类讨论思想专题第6页共13页课堂探究活动１如图六，已知点A（-4，-2）和点B（-1，-3），①以线段AB为底，作等腰△ABC，使顶点C落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？②以线段AB为腰，作等腰△ABC，使顶点C落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？③作等腰△ABC，使顶点C落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？题后反思（注意点）：课堂探究活动2如图七，已知直线AB与x轴交于点A(-2,0)，与y轴交于点B(0,-3)，连接AB，在坐标轴上有一点C，连接AC、BC，使△ABC为等腰三角形，你能找到点C的位置吗？题后反思（注意点）：课堂探究活动3如图，已知△ABC中，∠B=90º，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．题后反思（注意点）：【巩固练习】如图，直线1l和2l相交于点B，点A是直线1l上的点，在直线2l上寻找一点，使△ABC是等腰三角形，请画出所有符合条件的等腰三角形。BA二次函数压轴题之分类讨论思想专题第7页共13页1.如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．等腰三角形存在性之夹角固定、两点动3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动；动点Q同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，当△APQ为等腰三角形时，t的值为()4.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，2)，B(6，-2)，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点O运动，动点Q同时从点O出发，以每秒个单位长度的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，当△OPQ为等腰三角形时，t的值为()4.2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．已知点B的坐标为（8，0），若在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，则点Q的坐标为()二次函数压轴题之分类讨论思想专题第8页共13页1.如图，在△ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC向点C运动；同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，当△CPQ为等腰三角形时，t的值为()4.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（6，0）．连接AB，E为线段OB上一点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，其顶点F恰好落在线段AB上．将正方形OEFG沿OB向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，正方形DEFG的边EF与AB交于点M，DG所在的直线与AB交于点N，连接DM．设平移的距离为t，当△DMN是等腰三角形时，t的值为()4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，且四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3．已知抛物线经过A，C两点，且与x轴交于点D，连接BD．点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以同样的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动．设运动的时间为t秒