与二次函数与三角形面积或相似问题(含答案)

1、如图2，已知二次函数24yaxxc的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入cxaxy42得.3439,)1(4)1(122caca解得.6,1ca∴二次函数的表达式为642xxy．（2）对称轴为2x；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m，m）代入642xxy，得642mmm，解得121,6mm．∵m＞0，∴11m不合题意，舍去．∴m=6．∵点P与点Q关于对称轴2x对称，∴点Q到x轴的距离为6．2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x…………………3分xyO3－9－1－1AB图2（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=12AP=12t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+12t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-12（4+12t）2+4(4+12t）=-18t2+8.…………………5分∴EG=-18t2+8-(8-t)=-18t2+t.∵-18＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.…………………7分②共有三个时刻.…………………8分t1=163，t2=4013，t3=8525．…………………11分3，已知二次函数解析式为y=2x-2x-3,与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。问：是否存在直线y=kx+b交抛物线于P、Q两点，使y轴平分△CPQ的面积，若存在，求出k、b满足的条件。若不存在，说明理由。答：存在k=-2，b﹤-3使y轴平分△CPQ的面积。解：过P作PM⊥y轴于M，QN⊥y轴于N∵y轴平分△CPQ的面积∴PECS△=QECS△∴PM=QN∴-px=Qx联立{bkxyxxy322∴2x-（2+k）x-3-b=0∴px+Qx=2+k=0∴k=-2又∵pxQx=-3-b﹥0∴b﹤-3反思：这类题其实根据所给出的几何特性：y轴平分△CPQ面积，将等分面积的问题转化为线段相等的问题，即P、Q到y轴的距离相等，再将线段相等转化为点的坐标关系，即：-px=Qx建立方程，得出本题的解，完成了从形到数的转化。,4、已知二次函数22aaxxy。8642-2-4-6-8-10-5510xONMEQPBCAAXY（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为2133，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。解（1）因为△=04)2()2(422aaa所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。…………（2分）（2）设x1、x2是022aaxxy的两个根，则axx21，221axx，因两交点的距离是13，所以13)(||22121xxxx。…………（4分）即：13)(221xx变形为：134)(21221xxxx……………………………………（5分）所以：13)2(4)(2aa整理得：0)1)(5(aa解方程得：15或a又因为：a0所以：a=－1所以：此二次函数的解析式为32xxy…………………………（6分）（3）设点P的坐标为),(0yxo，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于13，所以：AB=13……………………………………………………………………（8分）所以：S△PAB=213||210yAB所以：2132||130y即：3||0y，则30y…………………………………（10分）当30y时，3320oxx，即0)2)(3(0oxx解此方程得：0x=－2或3当30y时，3320oxx，即0)1(0oxx解此方程得：0x=0或1……………………………………（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3),(3,3),(0,－3)或(1,－3)。…（12分）5，如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.,解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21xay·······················································1分把A（3,0）代入解析式求得1a所以324)1(221xxxy·············································3分设直线AB的解析式为：bkxy2由3221xxy求得B点的坐标为)3,0(···································4分图12-2xCOyABD11把)0,3(A，)3,0(B代入bkxy2中解得：3,1bk所以32xy··········································································6分(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2··········································································8分32321CABS(平方单位)···················································10分(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则xxxxxyyh3)3()32(2221······················12分由S△PAB=89S△CAB得：389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将23x代入3221xxy中，解得P点坐标为)415,23(······························································14分6，如图3，已知抛物线cxbxay2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t（秒)(0＜t＜4)，△PQA的面积记为S.①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；PBACOxyQ⌒图3EFPBACOxyQ⌒图13③是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵抛物线cxbxay2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)，∴03390416cbaba.解得0,334,33cba.∴所求抛物线的函数关系式为xxy334332.(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2）①过点B作BE⊥x轴于E，则BE=3，AE=1，AB=2.由tan∠BAE=3AEBE，得∠BAE=60°.（ⅰ）当点Q在线段AB上运动，即0＜t≤2时，QA=t，PA=4-t.过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=t23，∴S=21PA·QFtt23)4(21tt3432.……（6分）（ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤t＜4时，Q点的纵坐标为3，PA=4-t.这时，S=3)4(21t3223t.②（ⅰ）当0＜t≤2时，3)2(4334322tttS.∵043，∴当t=2时，S有最大值，最大值S=3.（ⅱ）当2≤t＜4时，3223tS∵023，∴S随着t的增大而减小.∴当t=2时，S有最大值，最大值332223S.综合（ⅰ）（ⅱ），当t=2时，S有最大值，最大值为3.△PQA是等边三角形.③存在.当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA=90°，这时PA=2QA，即4-t=2t，∴34t.∴P、Q两点的坐标分别为P1(34,0)，Q1(310,332).当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-t和t，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t=t，∴25t∴P、Q两点的坐标分别为P2(25,0)，Q2(25,3).已知：抛物线20yaxbxca的对称轴为1x，与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中30A，、02C，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DEPC∥交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE△的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【关键词】二次函数解析式对称点相似三角形三角形面积【答案】（1）由题意得129302baabccACxyBO解得23432abc∴此抛物线的解析式为224233yxx（2）连结AC、BC.因为BC的长度一定，所以PBC△周长最小，就是使PCPB最小.B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴1x的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为ykxb则302kbb，解得232kb∴此直线的表达式为223yx．把1x代入得43y∴P点的坐标为413，（3）S存在最大值理由：∵DEPC∥，即DEAC∥．∴OEDOAC△∽△．∴ODOEOCOA，即223mOE．∴332OEm，连结OPOACOEDAEPPCDSSSSS△△△△=1131341323212222232mmmm=22333314244mmmOACxyBEPD∵304∴当1m时，34S最大7、如图8，抛物线cbxxy2与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8