二次函数图像性质知识点总结以及习题集锦

1二次函数图像及性质知识总结二次函数概念一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。定义域是全体实数，图像是抛物线解析式b﹑c为0时2yaxb为0时2yaxcb﹑c不为0时2yaxbxc图像的性质0a开口向上．向上向上0a开口向下向下向下对称轴y轴y轴2bxa顶点坐标00，0c，2424bacbaa，0a时y有最小值X=0.时y最小值等于0X=0,时Y最小值等于c当2bxa时。y有最小值244acba．0a时y有最大值X=0.时y最大值等于0X=0,时Y最大值等于c当2bxa时，y有最大值244acba．0a时开口向上0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大0a时开口向下0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小图像画法利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.解析式的表示及图像平移1.一般式：2yaxbxc2.顶点式：2()yaxhk3.两根式：12()()yaxxxx2.平移⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”①cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）②cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）2二次函数y＝ax2及其图象．一、填空题1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a，b，c是______且______≠0．2．函数y＝x2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．3．抛物线y＝ax2的顶点是______，对称轴是______．当a＞0时，抛物线的开口向______；当a＜0时，抛物线的开口向______．4．当a＞0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而______，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．5．当a＜0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而______，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．6．写出下列二次函数的a，b，c．(1)23xxya＝______，b＝______，c＝______．(2)y＝x2a＝______，b＝______，c＝______．(3)105212xxya＝______，b＝______，c＝______．(4)2316xya＝______，b＝______，c＝______．7．抛物线y＝ax2，｜a｜越大则抛物线的开口就______，｜a｜越小则抛物线的开口就______．8．二次函数y＝ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y＝2x2如图()；(2)221xy如图()；(3)y＝－x2如图()；(4)231xy如图()；(5)291xy如图()；(6)291xy如图()．9．已知函数,232xy不画图象，回答下列各题．(1)开口方向______；(2)对称轴______；(3)顶点坐标______；(4)当x≥0时，y随x的增大而______；(5)当x______时，y＝0；(6)当x______时，函数y的最______值是______．310．画出y＝－2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．11．在下列函数中①y＝－2x2；②y＝－2x＋1；③y＝x；④y＝x2，回答：(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线．(2)函数______y随着x的增大而增大．函数______y随着x的增大而减小．(3)函数______的图象关于y轴对称．函数______的图象关于原点对称．(4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______．12．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______．(2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．13．已知函数y＝(m2－3m)122mmx的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______．14．已知函数y＝m222mmx＋(m－2)x．(1)若它是二次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限．(2)若它是一次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限．15．已知函数y＝mmmx2，则当m＝______时它的图象是抛物线；当m＝______时，抛物线的开口向上；当m＝______时抛物线的开口向下．二、选择题16．下列函数中属于一次函数的是()，属于反比例函数的是()，属于二次函数的是()A．y＝x(x＋1)B．xy＝1C．y＝2x2－2(x＋1)2D．132xy17．在二次函数①y＝3x2；②2234;32xyxy③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为()A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③18．对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是()A．a越大，抛物线开口越大B．a越小，抛物线开口越大C．｜a｜越大，抛物线开口越大D．｜a｜越小，抛物线开口越大19．下列说法中错误的是()A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，221xy中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点4三、解答题20．函数y＝(m－3)232mmx为二次函数．(1)若其图象开口向上，求函数关系式；(2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．21．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．(1)求a，b的值；(2)求抛物线y＝ax2与直线y＝－2的两个交点B，C的坐标(B点在C点右侧)；(3)求△OBC的面积．22．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；(3)求△OAB的面积；(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．51．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x，常数，a．2．抛物线，y轴，(0，0)．3．(0，0)，y轴，上，下．4．减小，增大，x＝0，小．5．增大，减小，x＝0，大．6．(1).0,3,1(2)，0，0，(3),10,5,21(4).6,0,317．越小，越大．8．(1)D，(2)C，(3)A，(4)B，(5)F，(6)E．9．(1)向下，(2)y轴．(3)(0，0)．(4)减小．(5)＝0(6)＝0，大，0．10．略．11．(1)②、③；①、④．(2)③；②．(3)①、④；③．(4)①，0；④，0．12．(1)a≠0，(2)a＝0且b≠0，(3)a＝c＝0且b≠0．13．y＝4x2；(0，0)；x＝0；向上．14．(1)2；y＝2x2；抛物线；一、二，(2)0；y＝－2x；直线；二、四．15．－2或1；1；－2．16．C、B、A．17．C．18．D．19．C．20．(1)m＝4，y＝x2；(2)m＝－1，y＝－4x2．21．(1)a＝－1，b＝－1；(2));2,2().2,2(CB(3)S△OBC＝22．22．(1)241xy；(2)B(－2，1)；(3)S△OAB＝2；(4)设C点的坐标为),41,(2mm则.221|141|4212m则得6m或.2m∴C点的坐标为).21,2(),21,2(),23,6(),23,6(6二次函数y＝a(x－h)2＋k及其图象一、填空题1．已知a≠0，(1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______．(2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______．(3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(mmxmy是二次函数，则m＝______．3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到．6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．二、选择题7．要得到抛物线2)4(31xy，可将抛物线231xy()A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向右平移4个单位D．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是()A．y＝2x2与y＝3x2B．2212xy与2122xyC．y＝2x2与y＝x2＋2D．y＝x2与y＝x2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231xy的图象相同的抛物线是()A．2)5(31xyB．5312xyC．2)5(31xyD．2)5(31xy三、解答题10．在同一坐标系中画出函数221,321yxy3212x和2321xy的图象，并说明y1，y2的图象与函数221xy的图象的关系．711．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．填空题12．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x＝______时，y有最值______；当a＞0时，若x______时，y随x增大而减小．13．填表．解析式开口方向顶点坐标对称轴y＝(x－2)2－3y＝－(x＋3)2＋25)5(212xy1)25(312xyy＝3(x－2)2y＝－3x2＋214．抛物线1)3(212xy有最______点，其坐标是