中南大学概率论与数理统计课件(1.5事件的独立性与独立试验概型)

1.5事件的独立性解一、事件的独立性引例一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。例A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}则6()0.610PBA()()()()()PBPAPBAPAPBA66460.610101010()()PBAPB()()()PABPAPB定义1.8设有事件Ａ与事件Ｂ，如果则称A与B是相互独立的。实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断如，甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立事件的独立性independence设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，且P(A)0.则定理1.4事件的独立性判别).()(BPABPBA相互独立与证)()()(BPAPABPBA相互独立与)()()()()()()(ABPAPABPAPAPABPBP例如一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解情形（1）的样本空间为Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}131(),(),()242PAPBPAB此种情形下，事件A、B是不独立的。例如一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。解情形（2）的样本空间为Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男）（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}613(),(),()828PAPBPAB此种情形下，事件A、B是独立的。3BABABAAB（1）与；（2）与；（）与；（4）与定理1.5下列四组事件，有相同的独立性：()()()PABPAPB()()1()PABPABPAB1()()()PAPBPAB1()()()()PAPBPAPB证明若A、B独立，则1()1()()()PAPBPAPBAB与所以，独立。概念辨析事件Ａ与事件Ｂ独立事件Ａ与事件Ｂ互不相容()()()PABPAPBAB()0PAB事件Ａ与事件Ｂ为对立事件ABAB()()1PAPB例甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。解设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”则()0.6,()0.5PAPB()()()0.60.50.3PABPAPB()()()()()0.5PABABPAPBPAPB()()()()()0.8PABPAPBPAPB定义1.9如果事件A，B，C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A，B，C相互独立。注意事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之不一定。有限多个事件的独立性例设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一个四面体标有号码1，2，3，4。令A={第一个四面体的触地面为偶数}B={第二个四面体的触地面为奇数}C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同时为偶数}试讨论A、B、C的相互独立性。A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数}C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)1()()()2PAPBPC1()()()4PABPACPBC()0PABC解试验的样本空间为所以，A、B、C两两独立，但总起来讲不独立。定义1.1012121212,,,1()()()()()()()()()()(),,,nijijijkijknnnAAAnijknPAAPAPAPAAAPAPAPAPAAAPAPAPAAAA设为个事件。如果对于所有可能的组合下列各式同时成立那么称是相互独立的。共有（2n-n-1）个等式2nC3nCnnC对满足相互独立的多个事件，有12(1),,,nAAA若相互独立，则12121()()()()()nnniiPAAAPAPAPAPA12(2),,,nAAA若相互独立，则11()1()nniiiiPAPA例加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5%，假设各道工序是互不影响的．求加工出来的零件的次品率．解设Ａ1，Ａ2，Ａ3分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：Ａ1,Ａ2,Ａ3相互独立，且Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝1%,Ｐ（Ａ3）＝5%又设Ａ表示加工出来的零件是次品,则A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3方法２（用对立事件的概率关系）)(1)(1)(321AAAPAPAP)()()(1321APAPAP＝1－(1－0.02)(1－0.01)(1－0.05)＝0.0783例1.26现有10张彩票，其中有5张“发”，3张“财”，其余都是“白”．规定一个人只有同时摸到“发”和“财”才算中奖。（1）甲、乙两人依次不放回地连续抽取两张，求甲、乙两人都中奖的概率；（2）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求甲乙两人至少有一人中奖的概率。解设A表示事件“甲中奖”，B表示事件“乙中奖”。（1）由于是不放回地抽样，故有)()()(ABPAPABP2812142101315CCCCCC095.0212（2）由于是有放回地抽样，故A与B是相互独立的，,31)(,31)(2101315BPCCCAP)()()(BPAPABP,913131)()()()(ABPBPAPBAP.95913131所以例1.27图中有5个继电器接点，假使每一继电器接点闭合的概率为p，且个继电器接点闭合与否相互独立，求自左至右是通路的概率。12345解则“自左至右是通路”，表示事件个继电器闭合”，表示事件“第设BiAi4325315421AAAAAAAAAAB)()()()()(4325315421AAAPAAAPAAPAAPBP)()()(432153215421AAAAPAAAAPAAAAP)()(54325431AAAAPAAAAP)()()()()(4325315421AAAPAAAPAAPAAPBP)()()(432153215421AAAAPAAAAPAAAAP)()(5432154321AAAAAPAAAAAP)()(5432154321AAAAAPAAAAAP)()(5432154321AAAAAPAAAAAPkAAAAA相互独立，故对任意由题设54321,,,,(k=2,3,4,5)所以.)(54322522ppppBP补例（练习1.5第一题）与任意事件相互独立。则证明：若AAP,1)(证,1)(,APABA因为,1)()(APBAP所以,1)(BAP)()()()(ABPBPAPBAP而，从而)()(11ABPBP)()(BPABP所以，)(1BP)()(BPAP相互独立。与任意事件BA将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoullitrials).贝努利试验Bernoullitrials相互独立的试验贝努利试验A(略)例一批产品的次品率为5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，连取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．设Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａ＝｛取到次品｝，则＝｛取到正品｝．A()5%pPA()1()195%qPAPAp1234()()()()5%PAPAPAPA1234()()()()95%PAPAPAPA分析n=4的Bernoulli试验Ａi={第i次抽样抽到次品}因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4相互独立，所以12341234()()()()()PAAAAPAPAPAPA2422295.005.0qp123412341234()()PBPAAAAAAAAAAAA22424Cpq2295.005.060135.0123412341234,,,AAAAAAAAAAAA123412341234,,AAAAAAAAAAAA四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有624C贝努利定理设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p(0p1)，则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生k次的概率为knkknnqpCkP)((k＝0，1，2，...，n)其中pq1定理例有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；(2)求至少有两粒出苗的概率．(1)该试验为4重贝努利试验解kkkqpCkP444)(444()(2)(3)(4)0.8918PBPPP(2)设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则4,0.67,10.33npqp(04)k例设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。解该试验为5重贝努利试验，且所求概率为3325()0.70.30.3087PACn=5,p=0.7;q=0.3;k=3例设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。解设A表示“元件使用1000小时不坏”，则()0.2PA设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则332233()0.20.20.80.104PBCC例一批种子的发芽率为80%，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。分析：“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽”解假设播n颗种子，则依题意可得1(10.8)0.99n可解得ln0.012.8614ln0.2n即0.20.01n所以，每个穴中宜种3颗种子。（略）1,{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},{2,3,4}{3,4,5},{5,6,7}ABC求下列事件(1)AB(2)()ABC解(1)2,3,4,5ABAB(2)()ABCABC1,5,6,7,8,9,1051,5,6,7,8,9,102(),(),().PAxPByPABz用x,y,z表示下列事件的概率：1)()PAB2)()PAB3)()PAB4)()PAB解1)()()1()1PABPABPABz2)()()()PABPBAPBAByz3)()()()()1PABPAPBPABxz4)()()1PABPABxyz3，一列火车共有n节车厢，有k（k≥n）个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。解基本事件总数为kn设“每一节车厢内至少有一个旅客”为事件A，则!()nknkkCnnPAn几何概型的计算：蒲丰投针问题设平面上画着一些有相等距离2a（a0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求针与直线相交的概率。θd2al解设针的中点离较近直线的距离为d，针与较近直线的交角为θ。则d与θ的可取值为0da,0