铁电第三章(群论铁电体的晶体结构)

10/21/20191铁电体物理学PhysicsofFerroelectrics湘潭大学材料与光电物理学院10/21/20192晶体对称性10/21/20193对称性Symmetry在我们周围到处都可以碰到对称现象:人的双手是对称的，它可以借助于一个对称面的反映而使之重合；人和镜子里的像也是对称的，这种对称称为镜像对称;四方晶体绕中心轴转90或90的整数倍后，晶体自身重合；六角晶体绕中心轴转60或60的整数倍后，晶体自身重合.10/21/20194对称性和对称操作10/21/20195晶体的对称性是由其内部格子结构所决定的，它不仅与晶体的结构有密切关系，而且也于晶体的力学、电学、光学以及压电铁电性质等有密切关系。可以说，晶体的对称性是晶体分类的基础，也是研究晶体其它性质的基础。如果不考虑平移对称性在内，是宏观对称性10/21/20196主要内容晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞晶体学中的对称操作元素：(旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋轴和滑移面)晶体学点群，晶系和点阵型式空间群及其应用：空间群符号，等效点系，分数坐标，不对称单位原子排列的作用原子排列固态物质的内部结构是了解掌握材料性能的基础，才能从内部找到改善和发展新材料的途径。组织性能物质：气态，液态，固态固态物质：晶体，非晶体晶体：原子在空间呈有规则地长程有序排列；非晶体：原子排列没有长程有序。晶体是晶体吗？晶体(crystalline)，是内部原子在三维空间存在长程有序。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部规则构造的外在表现。非晶体(amorphous)：短程有序，长程无序晶体非晶体SiO2准晶体quasicrystal：原子排列长程有序但不是周期平移，即存在准周期。周期点阵：空间点阵和晶胞阵点空间点阵为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化，将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵，简称点阵。具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。晶胞晶体结构与点阵晶体结构和空间点阵的区别空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构是无限的。晶胞选取的原则同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞晶胞选取的原则选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多；当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。晶胞、晶轴和点阵矢量点阵矢量：点阵常数：a,b,c棱边夹角,,abc10/21/201921不要混淆点阵点和原子1.阵点是在空间中无穷小的点。2.原子是实在物体。3.阵点不必处于原子中心。晶体结构=结构基元@点阵晶体结构是在每个点阵点上安放一个结构基元。10/21/201922三维晶胞的原子计数在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享：1.顶角原子1/82.棱上原子1/43.面上原子1/24.晶胞内部1晶向指数和晶面指数晶向：晶体中原子的位置、原子列的方向晶面：阵点构成的平面Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数•晶向指数晶向指数：[uvw]任意阵点P的位置可以用矢量或者坐标来表示。OP=u+v+wabc晶向指数的例子立方晶系一些重要晶向的晶向指数因对称关系而等同的晶向=晶向族，uvw[100][010][001][111][112]晶面指数标定步骤：1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；3)取各截距的倒数；4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为(hkl)。晶面指数XZYXZYXZYXZYXZYXZY晶面指数的例子正交点阵中一些晶面的面指数（010）（100）（120）（102）（111）（321）晶面指数的意义在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{hkl}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。•立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；•立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面；•立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；XZYXZYXZY正多面体（柏拉图体）：多面体的每一个面都相同，由边数为p的正多边形所构成，每个顶点也是相同的，都与q个正多边形相接，可用符号{p,q}表示。四面体{3，3}四面体群六面体{4，3}八面体{3，4}八面体群十二面体{5，3}二十面体{3，5}二十面体群六方晶系晶面指数标定根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(hkil）四个指数来表示。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i＝－(h+k)。abc晶面法线::cos:cos:coshkl222coscoscos1晶面指数确定了晶面的法线和间距。对立方晶系晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。晶面间距由晶面指数求面间距dhkl通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。晶面间距正交晶系立方晶系六方晶系222hkladhkl2221hkldhklabc22222143hkldhhkklac10/21/201935对称操作和对称元素能使对称图形复原的动作称为对称操作，例如，前面提到的对称轴的旋转，对称面的反映，此外，对称中心点的反演（或倒反）等，都是对称操作。进行对称操作时，还必须依赖于一定的几何元素，如对称中心、对称面、对称轴等，这些几何元素又称为对称元素10/21/201936对称性的不同含义物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。）由于平衡或和谐的排列所显示的美。形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元的排列构型的精确对应。10/21/201937晶体点阵与晶体对称性在每个重复周期都选取一个代表点，就可以用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。而平移对称性是晶体最为基本的对称性。整个点阵沿平移矢量t=ua+vb+wc(u、v，w为任意整数)平移，得到的新空间点阵与平移前一样，称沿矢量t的平移为平移对称操作。10/21/201938晶体点阵与晶体对称性点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量a，b和c作为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如下：此平行六面体称为晶胞。10/21/201939晶体学中的对称操作元素分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操作。在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称操作，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是点式操作;使空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作，如平移，螺旋转动和滑移反映。10/21/201940对称操作和对称元素对称操作：一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换前不可区分（复原，重合）。对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。点群：保留一点不变的对称操作群。空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由32晶体学点群与14个Bravais点阵组合而成；空间群是一个单胞的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。10/21/201941旋转轴(2)旋转轴(旋转轴)：绕某轴反时针旋转q=360/n度，n称为旋转轴的次数(或重数)，符号为n(Cn)。其变换矩阵为：cossinsincosqqqq0000110/21/20194210/21/20194310/21/201944倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Centerofsymmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反演)，使空间点的每一个位置由坐标为(x、y，z)变换到(-x，-y，-z)。符号为1(i)，变换矩阵为10/21/201945图1-15110/21/201946反映面--镜面反映面，也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。符号为m(s)。为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的法线。如法线为[010]的反映面，可记为m[010]。{m[010]}(x、y，z)=?zyx100010001z'y'x'10/21/201947图1-16m10/21/201948旋转倒反轴-反轴旋转倒反轴，简称反轴(Axisofinversion，Rotoinversionaxis)，其对称操作是先进行旋转操作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称为记为组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称操作。其矩阵表示为：_n1000100010000100001cossinsincoscossinsincosqqqqqqqq10/21/20194910/21/20195010/21/20195110/21/20195210/21/20195310/21/20195410/21/201955旋转反映轴--映轴旋转反映轴，简称映轴(rotoreflectionaxis)，其对称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ(Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：1000100010000100001cossinsincoscossinsincosqqqqqqqq10/21/201956旋转反映Sn旋转反映Sn，包括绕对称轴的逆时针旋转360°/n，接着作垂直反射。旋转反演和旋转反映（Improperrotation）被（译）称为异常旋转、非真旋转、不当旋转等。10/21/201957反轴和映轴间的对应关系用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体学国际表中只用反轴。所有的点对称操作实际上可以简单的分为简单旋转操作和旋转倒反操作两种。全同操作就是一次真旋转轴，倒反中心为一次反轴，镜面为二次反轴，所有映轴都可以用等价反轴表示。10/21/201958反轴和映轴间的对应关系旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应关系，旋转角度为q的反轴和旋转角为(qp)的映轴是等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的表示矩阵看出。所以1次，2次，3次，4次和6次反轴分别等价于2次，1次，6次，4次和3次映轴。_~,_~,_~,_~,_~122136446310/21