最小势能原理

例题第一节差分公式的推导×第二节应力函数的差分解×第三节应力函数差分解的实例×第四节弹性体的形变势能和外力势能第五节位移变分方程第六节位移变分法习题的提示和答案教学参考资料第七节位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法因此，弹性力学问题属于微分方程的边界问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。第五章用差分法和变分法解平面问题对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法、差分法和有限单元法。近似解法第五章用差分法和变分法解平面问题§5－4弹性体的形变势能外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。第五章用差分法和变分法解平面问题应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法─取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：第五章用差分法和变分法解平面问题外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取时的外力功和能为零，则：)(.d)(dd)(asvfufyxvfufWσsyxAyx0vuWV.d)(dd)(σsyxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功和外力势能1.弹性体上的外力功和外力势能外力功：第五章用差分法和变分法解平面问题形变势能（2）∵应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系─线性关系─、σ~σ~σ,d01σU.211σU（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。2.应力的功和形变势能（内力势能）第五章用差分法和变分法解平面问题εσεσ线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系εεεdεd第五章用差分法和变分法解平面问题（3）对于平面应力问题或平面应变问题单元体积上应力所做的功都是)0(zyzxzττσ),0(zyzxzγγε).(21211xyxyyyxxijijγτεσεσU(c)形变势能第五章用差分法和变分法解平面问题（4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，存贮于物体内部。─单位体积的形变势能（形变势能密度）。1U形变势能第五章用差分法和变分法解平面问题（5）整个弹性体的形变势能是.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxγτεσεσyxUU(d)形变势能第五章用差分法和变分法解平面问题)).(212()1(222221eEUxyyxyx21EE11U1U形变势能).()(212)()(122221fyuxvμyvxuμyvxuμEU对于平面应变问题，将，。再将几何方程代入，可用位移表示为（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度，可用形变表示为第五章用差分法和变分法解平面问题3.形变势能的性质（1）是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时，总是正的，即（3）的大小与受力次序无关。（4）对应变的导数，等于对应的应力：.0U.,,1111xyxyyyxxijjiUσUσUσUUUU1U(g)形变势能的性质1U第五章用差分法和变分法解平面问题4.弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和，.pVUE(h)第五章用差分法和变分法解平面问题1.试证明在线性的应力与应变关系下，。2.试由式(e)导出式(g)。3.试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)、(e)和(f)相比较。211U思考题第五章用差分法和变分法解平面问题§5－5位移变分方程在位移变分法中，所取泛函为总势能，其宗量为位移状态函数，。现在来导出位移变分方程。uvpE第五章用差分法和变分法解平面问题⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的应力边界条件（在上）⑶位移边界条件（在上）。usσs实际位移uv(a)其中⑴、⑵属于静力平衡条件，⑶属于约束条件。对于实际位移，可将⑶看成是必要条件，而⑴、⑵是充分条件。1.实际平衡状态的位移、，必须满足第五章用差分法和变分法解平面问题2.虚位移状态⑴虚位移（数学上称为位移变分），表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。虚位移应满足上的约束边界条件，即,v,0vu虚位移(b)us（在上）。usu第五章用差分法和变分法解平面问题虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。,,**vvvuuu(c)虚位移第五章用差分法和变分法解平面问题微分─是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移，有.dddyyuxxuu(d)⑵变分与微分的比较变分与微分第五章用差分法和变分法解平面问题变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如，，，有UVpE.vvUuuUU变分与微分(e)第五章用差分法和变分法解平面问题由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序，如).()(uxxu变分与微分(f)第五章用差分法和变分法解平面问题当发生虚位移（位移变分）时，)(.d)(dd)(gsvfufyxvfufWyxsAyx)(.hWV)(.,,iuyvxvyuxxyyxvu,虚位移上功和能由于虚位移引起虚应变，外力势能的变分：外力的虚功（外力功的变分）：3.在虚位移上弹性体的功和能第五章用差分法和变分法解平面问题形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,∴作为常力计算，故无系数。.dd)(AxyxyyyxxyxσσU21虚位移上功和能(j)第五章用差分法和变分法解平面问题（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功）。故有)(UW)(.kWU位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出第五章用差分法和变分法解平面问题（2）位移变分方程─将式(g)的代入上式,得它表示，在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。)(.d)(dd)(lsvfufyxvfufUyxsAyxW),(vu)(U)(W位移变分方程第五章用差分法和变分法解平面问题U)(.d)(dd)(dd)(msδvfδufyxδvfδufyxδγτδεσδεσyxsAyxAxyxyyyxx位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。（3）虚功方程─将式(j)的代入上式，得第五章用差分法和变分法解平面问题其中─形变势能的变分，如式(j)所示，─外力功的变分，如式(g)所示。)(,0nWU)(,0][oWUWU位移变分方程（4）最小势能原理─式(k)可写成其中U─弹性体的形变势能，如§5-4式(d),W─弹性体的外力功，如§5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为第五章用差分法和变分法解平面问题证明如下：位移变分方程.d)(dd)(d)(dd)(;dd)(dddd1111WsvfufyxvfufsvfufyxvfufWUyxyxUUUyxUUysxyAxAysxyxxyxyyyxAxAxyxyyyxxA第五章用差分法和变分法解平面问题由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为再将总势能对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得综合式(p)，(q)，即得,pWUVUE.0pδE.0p2Eδ.pminE(p)(q)(r)位移变分方程pE第五章用差分法和变分法解平面问题位移变分方程这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。第五章用差分法和变分法解平面问题最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)pE'uu'uminEp0δpE0δp2Eu（实际位移）pE(a)(b)第五章用差分法和变分法解平面问题（5）位移变分方程的又一形式─式(l)中可化为.dd)]δδ(δδ[dd)δδδ(δyxuyvxvyσuxσyxσUAxyyxAxyxyyyxx又一形式U第五章用差分法和变分法解平面问题应用分部积分公式和格林公式（其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将进行转换。,]d)[d(dAAuvuvvu,d)(dd)(sAsmQlPyxyQxPU又一形式第五章用差分法和变分法解平面问题∵在上，虚位移，∴对其余几项进行同样的转换，并代入式(),可得又一形式的位移变分方程：yxuσxuσxyxuxσAxxAxdd])δ()δ([dd])(δ[,ddδ)(dδyxuxsulσsAxxus0δu)(.dδdδtsulσsulσsxsx又一形式U例如，对第一项计算，(s)l第五章用差分法和变分法解平面问题Ayxyyxyxxyxvfxyσufyxσdd])δ()δ[()(.0d]δ)(δ)[(usvflmσufmlσsyxyyxyxx因，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须uv.0,0,0,0yxyyxyxxyxyyxyxxflmσfmlσfxyσfyxσ（在A中）(v)（在上）(w)s又一形式第五章用差分法和变分法解平面问题由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。第五章用差分法和变分法解平面问题⑴实际平衡状态的位移必须满足a.上的约束(位移)边界条件；b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。5.结论sus结论⑵位移变分方程可以等价地代替静力条件b,c。第五章用差分法和变分法解平面问题结论⑶由此得出一种变分解法，即预先使位移函数满足上的位移边界条件，再满足位移变分方程，必然也可以找出对应于实际平衡状态的位移解答。us第五章用差分法和变分法解平面问题0δp2E1.微分和变分各是由什么原因引起的？2.试导出式(u)。3.试比较4.中变分方程(1)-(5)的不同的物理解释。4.试证明二阶变分。思考题第五章用差分法和变分法解平面问题位移变分法是取位移为基本未知函数的。位移函数应预先满足上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。§5-6位移变分法us第五章用差分法和变分法解平面问题mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),,(),(00(a)瑞利-里茨法（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法，令1.瑞利-里茨法