恒成立问题常见类型及解法问题引领已知不等式对恒成立求正实数的取值范围.0122axx]2,1[xa思路1、通过化归最值,直接求函数的最小值解决,即12)(2axxxf0)(minxf思路2、通过分离变量,转化到解决,即)1(21212xxxxamin2)21(xxa12xy思路3、通过数形结合,化归到作图解决,即图像在的上方axx212axy2概括方法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:(1)一次函数型;(2)二次函数型;(3)变量分离型;(4)直接转化为函数的最值求解;(5)根据函数的图象求解;下面分别举例示之。1、f(x)=ax+b,x[α,β],根据函数的图象(线段)得:f(x)0恒成立<>f(x)0恒成立<>αβoxyf()0f()0f()0f()0一、一次函数型若不等式2x121mx对一切2,2m都成立,求实数x的取值范围。【解析】令f(m)=(21x)m-2x+1,则上述问题即可转化为关于m的一次函数y()fm在区间[-2,2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点,只要(2)7131,(2)22<0,<<<0fxf解得即x的取值范围是(712,312).典例导悟一的取值范围。上恒成立,求在:已知例axax]2,2[032axxf3)(解:设-220)2(f由题意得:1a法二:上恒成立在]2,2[3xxa3)(xxg设1)2(]2,2[3)(gxxg上的最小值为在1a二、二次函数型一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0(a0)的解集与二次函数、二次方程的关系△0△=0△0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两不等x1,x2(x1x2)有两相等根x1=x2=-b/2a没有实根不等式ax2+bx+c0(a0)的解集不等式ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}{x|x≠-b/2a}R【理论阐释】若二次函数2(0,)yaxbxcaxR的函数值大于0恒成立,则有a00,若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。方法一:判别式法2()1,,()0fxaxaxxRfxa例1、已知二次函数且对于任意的恒成立求的取值范围2(1)0()100(2)04044.afxxRaaaaaa解:依题意知:当时,对恒成立;当时,需满足解得:0综上:02()1,,()0fxaxaxxRfxa变式1、已知二次函数且对于任意的恒成立求的取值范围2(1)0()100(2)04044.afxxRaaaaaa解:依题意知:当时,对恒成立;当时,需满足解得:0综上:02()2,,()1fxaxaxxRfxa变式2、已知且对于任意的恒成立求的取值范围222()2()1()10()()110()((1)0()100(2)04044.)0fxaxaxxRfxfxgxfxaxaxgxxRgxagxxRaaaaaa解:当,对都有恒成立即,令即时,对恒成立;当时,需满足解得:0对都综上:0有恒成立2()1,,()2fxaxaxxRfxa变式3、已知且对于存在一个使得成立,求的取值范围2()(2)1,,()()fxaxaxxRfxgxa变式4、已知g(x)=2x且对于任意的恒成立,求的取值范围三、分离参数型(转化为求新函数最值)【理论阐释】若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。a≥[f(x)]maxa≤[f(x)]mina≥f(x)恒成立的充要条件是:_____________;a≤f(x)恒成立的充要条件是:_____________。延伸拓展若存在a使得a≥f(x)的充要条件:____________;若存在a使得a≤f(x)充要条件是:_____________。min()afxmax()afx从例2可以看出解决恒成立的不等式问题,还可以考虑如下方法:直接转化为求原函数的最值()0fx恒成立min()0fx,()0fx恒成立max()0fx四、恒成立问题直接转化为函数最值问题五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】若把不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象,这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题,然后从图象中寻找条件,就能解决问题。若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数的图象在函数图象的上方(若是小于则在下方)fxgxyfxygx2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问题,分类讨论。3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。4、通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)(或a≤f(x))恒成立,再运用不等式知识或求函数最值的方法,使问题获解。1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。课堂小结
本文标题:函数恒成立问题课件
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