空间直角坐标系与空间向量典型例题

1空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系．类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4，０），∴1(232)BC，，，(010)CD，，．设1BC与CD所成的角为，则11317cos17BCCDBCCD．（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例2如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知2AB，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝3．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系．由于BC＝1，BB1＝2，AB＝2，∠BCC1＝3，2∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，2）、B1（０，2，０）、31022c，，、133022C，，．设302Ea，，且1322a，由EA⊥EB1，得10EAEB，即3322022aa，，，，233(2)2044aaaa，∴13022aa，即12a或32a（舍去）．故31022E，，．由已知有1EAEB，111BAEB，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量11BA与EA的夹角．因11(002)BABA，，，31222EA，，故11112cos3EABAEABA，即2tan2（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例3如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，3），∴AB＝（０，2，０），VA＝（1，０，－3）．由(020)(103)0ABVA，，，，，得AB⊥VA．又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，3∴AB⊥平面VAD；（2）设E为DV的中点，则13022E，，∴33022EA，，，33222EB，，，(103)DV，，．∴332(103)022EBDV，，，，，∴EB⊥DV．又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．∴21cos7EAEBEAEBEAEB，．故所求二面角的余弦值为217．（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．（1）求∠DEB的余弦值；（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、222aahE，，∴3222ahBEa，，，3222ahDEa，，．∴22226cos10BEDEahBEDEahBEDE，，即22226cos10ahDEBah∠；（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，4所以0BEVC，即3()0222ahaaah，，，，，∴22230222aha，∴2ha．这时222261cos103ahBEDEah，，即1cos3DEB∠．引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到面QAD的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线CADBQP，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQPB，，，，，，1cos3AQPBAQPBAQPB，．所求异面直线所成的角是1arccos3．（3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)DADPQ，，，，，，，，设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则00AQAD，，nn得200xzxy，，取x＝1，得(112)，，n=．点P到平面QAD的距离22PQdnn．5点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．6二、向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算ba,是两个非零向量，它们的夹角为，则数cos||||ba叫做a与b的数量积（或内积），记作ba，即.cos||||baba其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若),,(),,,(222111zyxbzyxa，则①212121zzyyxxba；②222222212121||,||zyxbzyxa；③212121zzyyxxba④222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxba（二）例题讲解题型：求角度相关1.异面直线nm,所成的角分别在直线nm,上取定向量,,ba则异面直线nm,所成的角等于向量ba,所成的角或其补角（如图1所示），则.||||||cosbaba2.直线L与平面所成的角在L上取定AB，求平面的法向量n（如图2所示），再求||||||cosnABnAB，则2为所求的角.3．二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向量21nn、（都取向上的方向，如图3所示），则Cn图1DABnmabnBAL图21n2nl图3甲7①若二面角l是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角的补角，即.||||cos2121nnnn②若二面角l是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角，即.||||cos2121nnnn.方法二：在二面角的棱l上确定两个点BA、，过BA、分别在平面、内求出与l垂直的向量21nn、（如图4所示），则二面角l的大小等于向量21nn、的夹角，即.||||cos2121nnnn题型：求距离相关1.异面直线nm、的距离分别在直线nm、上取定向量,,ba求与向量ba、都垂直的向量n，分别在nm、上各取一个定点BA、，则异面直线nm、的距离d等于AB在n上的射影长，即||||nnABd.证明：设CD为公垂线段，取bDBaCA,||||)(nABnCDnBDABCAnCDBDABCACD||||||nnABCDd设直线nm,所成的角为，显然.||||||cosbaba2.平面外一点p到平面的距离1n2n图3乙l1n2nl图4BACn图1DABnmabApn8求平面的法向量n，在面内任取一定点A，点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即||||nnAPd.图59三、法向量例题解析题型：求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n=（x,y,1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos(2-θ)=|cosAB,n|=ABABnn2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,nn，则12,nn或π-12,nn是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定12,nn是所求，还是π-12,nn是所求角。题型：求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为(,,)nxyz，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离：d=AB·cos∠BAA＇=||||ABnn略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇//EF，交a＇于A＇，10则¡¯//AAn，所以∠BAA＇=,BAn（或其补角）∴异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=||||ABnn*其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量,ab（或图中的,AEBF），及n的定义得00nananbnb①解方程组可得n。2、求点到面的距离求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)nxy，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离：d=||||ABnn，n的坐标由n与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设(1,,0)ny，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)nxy，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离：d=||||ABnn4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)nxy，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离：d=||||ABnn三、证明线面、面面的平行、垂直关系11设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,nn，则1a//an1aa//n12////nn12nn