高阶系统响应分析以及单位脉冲函数在时间响应中的作用

§3.5高阶系统的响应分析实际上，大量的系统是用高阶微分方程来描述。这种系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合，而且也可包含延时环节，而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性。本节将利用关于二阶系统的一些结论对高阶系统作定性分析，并在此基础上，阐明将高阶系统简化为二阶系统来作出定量估算的可能性3．5．1高阶系统的时间响应分析高阶系统传递函数的普通形式为：1011011110()...()()...mmmmnnnnXsbsbsbsbGsXsasasasa若n阶系统的传递函数有个实数极点和个共轭虚根，应有所以，特征方程可以分解为n1个一次因式（s+pj）(j=1,2,3,…n1)及n2个二次因式(k=1,2,3,…n2)设系统传递函数的m个零点为-zi（i=1，2，3，…m）则系统传递函数为式中n=n1+n21n2n12nnn22(2)knknkss1212211()()()(2)miinnjknknkjkKszGsspss•在单位阶跃输入Xi（s）=1/s的作用下，输出为12102211()11()()()(2)miinnjknknkjkKszXsGsssspss把上式按部分展开，得其中A0,Aj,Bk,Ck是有部分分式所确定的常数12002211()2nnjkkjkjnknkAABsCXssspss对X0(s)的表达式进行Laplace逆变换得高阶系统单位阶跃响应为其中120011()sin()(0)jknknnpttjkdkkjkXtAAeDett22arctan()kdkkkknkkkknkkkkdkBCBCBDB上式第一项为稳态分量，第二项为指数曲线（一阶系统），第三项为振荡曲线（二阶系统）。其响应决定于及系数Aj，Dk，即与零、极点的分布有关。因此，了解零、极点的分布情况就可以对系统的性能进行定性分析。,,jknkp•当系统闭环极点全部在s平面左半平面时，其特征根有负实根及复根有负实部，从而下式的二三项衰减，系统总是稳定的，各分量衰减的快慢，取决于极点离虚轴的距离。120011()sin()(0)jknknnpttjkdkkjkXtAAeDett•衰减项中各项的幅值Aj，Dk，不仅与它们对应的极点有关，还与系统的零点有关，极点位置距原点越远，则对应项的幅值越小对系统过渡过程的影响就小。另外，当极点和零点很近时，对应项的幅值也很小，即这对零、极点对系统过渡过程影响将很小。•系统的动态响应主要由主导极点决定，利用主导极点的概念可将主导极点为共轭复数极点的高阶系统降阶近似作二阶系统处理。主导极点（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。单位脉冲函数在时间响应中的作用单位脉冲函数的定义如下0()()1ttdttt工程上用长度等于1的有向线段表示在区间的积分面积，线段长度称为脉冲强度。对于机械系统，输入脉冲力时，其脉冲强度即为冲量值。对系统输入一单位脉冲函数，则系统的单位响应函数为如前节所述可得所以，系统的传递函数的Laplace逆变换是系统输入单位脉冲函数时的零初态响应或单位脉冲响应。()t(,)()t()()tgt由于系统的单位脉冲响应函数是对系统输入单位脉冲（即脉冲强度为1）时的响应，所以，利用线性叠加原理，可以通过求出系统在任意输入时的响应。()t()t•如图，当系统输入任一时间函数xi(t)时，可将在0~t时刻的连续信号分割为N段每段为t/N。当N→∞时，→0,因此，xi(t)可近似看作是由N个脉冲信号组成的，那么对系统输入xi(t)，就相当于在N个不同时刻对系统输入N个脉冲信号。在t=时刻，输入的脉冲强度为xi(t)•系统在t时刻对xi(t)的响应等于系统在0~t时刻内对所有脉冲输入的响应之和，如下图即：当→0时，由于当时，xi(t)=0，当时，故上式还可以写成上式右端就是的卷积。所以，系统对任意输入函数的响应等于该输入函数与单位脉冲的卷积。上式还可以写成0t()0t()()ixtt0()()*()ixtxtt理想的单位脉冲函数实际上是不可能得到的。在实际中，可以把持续时间比系统的时间常数T短得多(即脉冲宽度h＜0.1T)的脉冲输入信号看作单位脉冲。在试验时，通常用下图所示的三角脉冲或方波脉冲来代替它。对单位脉冲函数进行响应分析的时候应注意的两点：1.应注意单位脉冲函数的量纲2.单位脉冲响应因数的形式如同初始条件所决定的零输入响应形式一样，都是齐次微分方程的解的形式。由于单位脉冲响应具有零输入响应的形式，因此，一方面，它反映了系统本身的与外界无关的固有特性，这可由响应中的si与n是系统动力学方程的特征根及阶数表现出来；另一方面，由于单位脉冲响应是外界作用引起的响应，所以，它又体现了系统与外界的关系，这可由系数A2i与外界作用引起的初始条件有关。因此，单位脉冲响应函数的形式与实质都是同输入引起系统相应的瞬态项的形式与实质一致的。21instiiAe有了单位脉冲函数与单位脉冲响应函数的明确概念，就可深入分析一下系统的时间响应及其组成的问题：1.输入在其作用瞬间，记t=0i时刻，不改变系统初态。从物理概念上看十分清楚：下式中，第三、四项同输入Fcos有关，当F＝o时，第三、四项为零；这时由式可得与式中第一、二项的系数一致。1()sincosnnytAtBt.(0)/,(0)nAyBy2.将式(3．1．8)对t求高阶导函数时，可以证明，高阶导函数在t＝oi时并不全为零，即高阶导函数初值并不全为零。因此，对二阶系统而言，当k＞1时，并不一定等于。这个结论的意义在于:1）是由决定；2）若，而，则系统将始终无响应，这是有背于事实的。3）二阶系统对系统运动具有决定性作用的是初态，K阶系统的初态为()(0)kiy()(0)ky.(0),(0)yy.(0),(0)iiyy(0)(0)kikyy(0)0ky.(0),(0)yy.1(0),(0),...(0)kyyy3.对二阶系统，在一般情况下，而输入为单位脉冲函数时，就两者就不相等了，对于一、二阶系统而言，令t=0，一阶统，二阶系统；由于系统在作用前初态为零，显然，的作用改变了系统的初态。这就表明，输入作用的过程与结果就是不断改变系统状态。..(0)(0),(0)(0)iiyyyy(0)0.(0)0()t