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第五章与第六章1第五章式与方程【本章知识综述】式与方程在数学发展史中占有重要地位，其中“字母表示数”用一个或几个字母代替了繁琐的数学语言，增加了数学的内涵与魅力，使数学的发展进入了一个新的领域，同时也向学生渗透了代数的思想；“列方程解应用题”将用简单的顺向思维取代了抽象的逆向思维，极大的降低了思维的难度，提高了解决问题的效率。第一节用字母表示数【知识综述】用字母表示数包括用字母表示运算定律、计算公式、表示数量关系式及用含字母的式子表示数量，求字母表达式的值。其中用含字母的式子表示数量是本节的重点也是难点内容，列等量关系式、画线段图是突破难点的有效方法。【知识要点】一、用字母表示数1.用字母表示数的意义用字母表示数比文字叙述更简明易懂，也便于应用。2.乘号的简写与省略⑴几个字母相乘时，可以把字母中间的乘号简写成“”，或直接把小圆点省略，当然字母应按字母表的顺序排列。如b×c×a=b·c·a或b×c×a=abc用字母表示运算定律用字母表示计算公式用含字母的式子表示数量关系用含字母的式子表示数量求代数式的值简易方程方程的意义等式的意义与性质方程与等式的关系解方程方程的解的意义解方程的意义简易方程的解法检验的方法与书写格式列方程解应用题列方程解应用题的关键列方程解应用题的特点列方程解应用题的步骤列方程解应用题与算术法的不同解两三步计算的应用题解含有两个未知数的应用题式与方程用字母表示数用字母表示运算定律用字母表示计算公式用字母表示数量关系用含字母的式子表示数量求字母表达式的值用字母表示数第五章与第六章2⑵字母与数相乘时，可以把乘号省略，并用数放在前面。如a×4=4a⑶两个相同的数或字母相乘时，可以在这个数或字母的右上角标上2，读作“这个数或字母的平方”。如a×a=a2,读作：a的平方。3.用字母表示运算定律加法的运算定律加法的交换律a+b=b+a加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)乘法的运算定律乘法的交换律ab=ba乘法的结合律(ab)c=a(bc)乘法的分配律a(b+c)=ac+bc4.用字母表示计算公式⑴平面图形的周长、面积公式⑵立体图形的表面积和体积的计算公式5.用字母表示数量关系⑴用s表示路程，v表示速度，t表示时间。则s=vt,v=ts，t=vs。⑵用a表示单价，x表示数量，c表示总价。则c=ax,a=xc,x=ac。⑶用a表示工作效率，t表示工作时间，c表示工作总量。则c=at,t=ac,a=tc⑸用b表示单产量，x表示面积，w表示总产量。则w=bx,b=xw,x=bw。6.用含字母的式子表示数量在具体的情境中，如果多个量之间有一定的关系，用一个字母或几个字母表示其中的一个量或几个量，则另外几个量可用含有该字母的式子表示出来。如男生的人数比女生的人数多10人。如果设男生人数为a,则女生的人数表示为（a-10）人。如果女生的人数为a，则男生的人数表示为(a+10)人。7.求值⑴含有字母的式子可以表示数量关系，也可以表示数量，只要给出每个字母的值,就可以求出这个含图形字母的意义周长公式面积公式长方形a—长，b--宽C=2(a+b)S=ab正方形a—边长C=4aS=a2平行四边形a—底，h—高S=ah三角形a—底，h—高S=ah÷2圆r—半径C=2πrS=πr2图形字母表示的意义表面积体积长方体a-长b-宽h-高S表=2（ab+ah+bh）S表=2ah+2ah+2bhV=abh或V=S底h正方体a-棱长S表=6a2V=a3或V=S底h圆柱r-半径h-高S表=2πrh+2πr2V=S底h圆锥h-高V=31S底h第五章与第六章3有字母式子的值。⑵计算一个图形的周长或面积、体积等，只要把数值代入有关的公式，就可以计算出这个图形的周长、面积或体积等。【典例剖析】例1当x=6时，x2与2x的值各是多少？误区解读：这道题主要考查学生对x2与2x意义的区别。学生常出现的错误是x=6时，x2=2×6=12；x=6时，2x=2×6=12。这道题出错的主要原因是对x2与2x的意义理解不够准确。x2=x×x,即两个x相乘，而2x=x+x,即两个x相加。因此学生在计算x=6时，x2的值出现了错误。思路点拨：因为x2=x×x,即两个x相乘，而2x=x+x,即两个x相加。所以，x=6时，x2=6×6=36,2x=6+6=2×6=12。例2a的一半与b的和的2倍，如果用含有字母的式子如何表示？误区解读：这道题主要考查学生对关键词的理解以及四则运算顺序的理解。学生常出现的错误有：a÷2+b×2或21a+2b。学生出错的主要原因有：1.审题不够认真，对题目的要求不明确。错误的认为题目是求a的一半与b的2倍的和，导致出现上面错误的列式。2.对关键词“和”理解与把握不到位。虽注意题目是求“和的2倍”，能够将和表示出来，即a÷2+b，但与2相乘时，对四则运算的顺序理解不到位，将“a÷2+b”与2直接相乘，以致出现了式子“a÷2+b×2”而它表示的意义却是a的一半与b的2倍的和，不符合原题的要求，故是错误的。思路点拨：a的一半与b的和的2倍,用含有字母的式子表示，应抓住关键词“和”，即a÷2+b，但和与2相乘时，为了能够体现出“和”，应将“a÷2+b”加上括号，即正确的式子为（a÷2+b）×2或2（a÷2+b）。例3五年级有男生a人，比女生人数的3倍少b人，用含字母的式子表示出女生的人数。误区解读：这道题主要考查学生对数量关系的理解与应用。常见错误有：女生的人数是(3a-b)人或(a÷3-b)人。出错的主要原因有：1.没有认真审题或没有明确单位“1”，将“女生人数的3倍少b人”错误的认为就是求“男生人数的3倍少b人”，于是出现错误的列式为(3a-b)人，其实就是单位1不明确。2.不能够准确理解“少b人”的含义，“少b人”就是男生的人数与女生人数3倍的差而学生错误的认为：男生a人，是女生的3倍，求出现在的女生人数再减去b人，就是原来女生的人数，即列出错误的式子(a÷3-b)人。思路点拨：解决这一问题的关键是确定“女生的3倍”对应的式子，其中列等量关系式或画线段图是比较有效的方法。方法一：等量关系式“男生a人，比女生人数的3倍少b人”可以列出等量关系式为女生人数×3-b=a，把“女生人数的3倍”看作被减数，根据被减数=减数+差，得到女生人数的3倍是（b+a）人，所以女生人数的字母表达式是：（b+a）÷3。方法二：画线段图男生人数：b人a人女生人数的3倍女生人数：第五章与第六章4从图中可以很容易的看出：女生人数的3倍正好是（a+b）人，所以女生人数的字母表达式是（a+b）÷3。例4一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数用含字母的式子如何表示？误区解读：这道题主要考查对数位意义的理解及用字母表示数位。常出现的错误是：ab，出错的主要原因是对数位的意义理解不准确。一个两位数，它的十位上的数字表示若干十，个位上的数字表示若干个一，所以这个两位数实际上是若干个十与若干个一的和，而ab则表示个位数字与十位数字的积，不符合数位的意义，所以ab是错误的。思路点拨：十位上的数字是a,表示a个十，个位上的数字是b，表示b个一，所以这个两位数实际是a个十，与b个一的和，即10×a+1×b,或10a+b。例5一个长方形的长是a，比宽多4厘米。1.用含有字母的式子表示出长方形的周长。2.如果长方形的a是10厘米，求这个长方形的周长。误区解读：这道路题目主要考查长方形的周长公式及求代数式的值。常见错误有（1）2（a-4）,a=10,2（a-4）=2×(10-4)=12(厘米)。（2）a-4+a或2a-4,a=10厘米，2a-4=2×10-4=16(厘米)。出错的主要原因是：（1）对数量关系理解不准确或对含字母式子的意义把握不准确。“一个长方形的长是a，比宽多4厘米”可以列出等量关系式为长=宽+4，于是(a-4)表示的是长方形的长，2(a-4)表示的是长方形两条长，而不是周长。故2(a-4)表示长方形的周长是错误的。（2）不能准确把握长方形的周长公式。长方形的周长=（长+宽）×2，而从“一个长方形的长是a，比宽多4厘米”可以列出等量关系式为长=宽+4，于是(a-4)表示的是长方形的长，(a-4+a)实际表示长方形中一条长与一条宽的和。所以a-4+a或2a-4表示长方形的周长是错误的。思路点拨：解决这一问题应注意：1.用含用字母的式子表示长方形的宽。2.正确的应用长方形的周长公式。其中用“列等量关系式”或“画线段图”是解决这一问题的重要方法。方法一：列等量关系式。由“一个长方形长是a，比宽多4厘米”可得到等量关系式为：宽=长-4，即，宽是（a-4）,根据长方形的周长=2（长+宽）=2（a+a-4）=2(2a-4)所以：长方形的周长是:2(2a-4)。当a=10厘米时，其周长为：2（2a-4）=2×(2×10-4)=32(厘米)。方法二：画线段图从线段图可以看出长是a厘米，宽是（a-4）厘米,那么长方形的周长就是：2（a+a-4）。当a=10厘米时，其周长为：2（a+a-4）=2×（10+10-4）=32（厘米）。例6小明用小棒摆成下面的图形。a厘米4厘米宽：长：第五章与第六章51.如果用小棒摆成n个正方形，所用小棒的数量用含有字母的式子表示出来。2.如果摆成30个正方形，要用多少根小棒？误区解读：这道题主要考查正方形的个数与小棒根数的关系及用含字母的式子揭示规律。常见错误有：4n或4n-n=3n。学生出错的主要原因是：1.正方形的个数与小棒根数的变化把握不准确。摆一个正方形用4根小棒，摆2个正方形用了7根小棒，比（2×4）少用了1根；摆3个正方形用了10根小棒，比(3×4)少用2根；摆4个正方形用了13根小棒，比（4×4）少用了3根小棒……可以看出正方形的个数在变化，小棒的数量也在变化。所用小棒的数量分别是4，7，10，13……因此小棒的数量并不是4的倍数，故4n是错误的。2.正方形的个数与小棒减少的根数把握不准确。摆2个正方形，小棒减少了1根；摆3个正方形，小棒减少了2根；摆4个正方形，小棒减少了3根，摆5个正方形小棒减少了4根……同样摆n个正方形，小棒减少了（n-1）根。所以4n-n是错误的。思路点拨：此题可以从不同的角度来研究。方法一：按小棒减少的根数。如下表：摆成正方形的个数1234……n比n个正方形边数和减少的根数0123n-1所需小棒的根数4×1-04×2-14×3-24×4-34n-(n-1)因此按小棒减少的根数，可以得到小棒减少的根数正是“正方形的个数减1”于是：1.摆n个正方形所用小棒的根数为〔4n-(n-1)〕=3n+1。2.n=30时，3n+1=3×30+1=91(根)方法二：按小棒增加的根数。如下表：摆成正方形的个数1234……n比一个正方形增加的根数03×13×23×33（n-1）所需小棒的根数44+1×34+3×24+3×34+3（n-1）从表中可以看出，比一个方形增加的根数是3与（正方形个数-1）的乘积。于是摆成n个正方形需要小棒的根数是4+3（n-1）=3n+1。当n=30时，3n+1=3×30+1=91(根)方法三：可按上、下边小棒根数的变化与中间小棒根数的变化。如下表：摆成正方形的个数1234……n1个2个3个4个5个第五章与第六章6上下边小棒的根数2×12×22×32×42n中间小棒的根数2345n+1小棒的总数2×1+22×2+32×3+42×4+52n+n+1从上表观察可以得到：上、下小棒的根数正好是正方形的个数与2的乘积，中间小棒的根数比正方形的个数多1。所以摆n个正方形所用小棒的根数是：2n+n+1=3n+1。当n=30时，3n+1=3×30+1=91(根)。【集训基地】基础天地一、填空1.如果梯形的上底是a,下底是b,高是h,则梯形的面积公式为（）。2.如果正方形的周长是C，则它的边长是（），它的面积是（），如果C=12厘米，则边长是（）厘米，它的面积是（）平方厘米。3.如果五年级的人数比六年级的人数多10人。如果六年级有a人，则五年级的人数为（），如果五年级的人数是a人，则六年级的人数为（）人。4.一辆汽车从甲地