第一章函数与极限(教案)

第1页共80页第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。教学方法：翻转课堂分享式教学第2页共80页知识框图第3页共80页第4页共80页§1.1映射与函数（2课时）一、映射1.映射的概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY,其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即yf(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即DfX;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rff(X){f(x)|xX}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域DfX;集合Y,即值域的范围:RfY;对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的yf(x)与之对应.(2)对每个xX,元素x的像y是唯一的;而对每个yRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfY,不一定RfY.例1设f:RR,对每个xR,f(x)x2.显然,f是一个映射,f的定义域DfR,值域Rf{y|y0},它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.例2设X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,对每个(x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y与之对应.显然f是一个映射,f的定义域DfX,值域RfY.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上.(3)f:]2,2[[1,1],对每个x]2,2[,f(x)sinx.f是一个映射,定义域Df]2,2[,值域Rf[1,1].满射、单射和双射:设f是从集合X到集合Y的映射,若RfY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).第5页共80页上述三例各是什么映射？2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yRf,有唯一的xX,适合f(x)y,于是,我们可定义一个从Rf到X的新映射g,即g:RfX,对每个yRf,规定g(y)x,这x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射,记作f1,其定义域1fDRf,值域1fRX.按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g:XY1,f:Y2Z,其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g(x)]Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即fog:XZ,(fog)(x)f[g(x)],xX.应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgDf.否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fog有意义并不表示gof也有意义.即使fog与gof都有意义,复映射fog与gof也未必相同.例4设有映射g:R[1,1],对每个xR,g(x)sinx,映射f:[1,1][0,1],对每个u[1,1],21)(uuf.则映射g和f构成复映射fog:R[0,1],对每个xR,有|cos|sin1)(sin)]([))((2xxxfxgfxgf.二、函数1.函数概念定义设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,通常简记为yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),xD”或“y=f(x),xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.第6页共80页函数符号:函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“”等.此时函数就记作y(x),yF(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412xxy的定义域.要使函数有意义,必须x0,且x240.解不等式得|x|2.所以函数的定义域为D{x||x|2},或D(,2][2,]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2y2r2给出.显然,对每个x[r,r]，由方程x2y2r2,可确定出对应的y值,当xr或xr时,对应y0一个值;当x取(r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到一个单值分支221)(xrxyy;附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支222)(xrxyy.表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|yf(x),xD}称为函数yf(x),xD的图形.图中的Rf表示函数yf(x)的值域.函数的例子:第7页共80页例.函数00||xxxxxy.称为绝对值函数.其定义域为D(,),值域为Rf[0,).例.函数010001sgnxxxxy.称为符号函数.其定义域为D(,),值域为Rf{1,0,1}.例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].函数y[x]称为取整函数.其定义域为D(,),值域为RfZ.0]75[,1]2[,[]3,[1]1,[3.5]4.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。函数11102xxxxy.这是一个分段函数,其定义域为D[0,1](0,)[0,).当0x1时,xy2;当x1时,y1x.例如2212)21(f;212)1(f;f(3)134.隐函数：一般说到函数,指的是对于x的每一取值,y都有唯一确定的值与它对应,通常y可以用关于x的式子表示出来,如：y=2x+1,y=x^2-1,y=sinx,y=e^x等,即可以表示为y=f(x)的形式,写成这样的形式可以明显的看出x与y之间是函数关系.即为显函数.而y^2=x就无法表示为y=f(x)形式,因为对于x0时的值对应的y值不唯一,y不是x的函数.隐函数一般是一个含x,y的方程如e^y+x^2+x=0这种形式,由于形式复杂,y不容易变形为用含x的式子表示,即不易表示为y=f(x),但如果能确定对于x的每一取值,y都有唯一确定的值与它对应的话,y就是x的函数关系,但这样的关系隐含在方程中,不容易写成明显的函数关系的形式,所以称隐函数.一般地，如果变量x和y满足一个方程F（x，y)=0,在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这个方程的y值（不一定唯一，如x^2+y^2=1）存在，那么就说方程F（x，y）=0在该区间内确定了一个隐函数。隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是第8页共80页两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。2.函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是yf(x)的图形在直线yK1的下方.如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yK2的上方.如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yM和yM的之间.函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|f(x)|M.例如(1)f(x)sinx在(,)上是有界的:|sinx|1.(2)函数xxf1)(在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界.这是因为,对于任一M1,总有x1:1101Mx,使Mxxf111)(,所以函数无上界.函数xxf1)(在(1,2)内是有界的.(2)函数的单调性设函数yf(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.第9页共80页函数单调性举例:函数yx2在区间(,0]上是单调增加的,在区间[0,)上是单调减少的,在（,）上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD,则xD).如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(