数学必修4知识点总结

必修4知识点总结1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.Zkk,360（4）角在“到”范围内，指.3600（2）象限角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.一、基本概念：(1)与角终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法{|=2k+,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:(2k2k+,kZ)2第二象限角:(2k+2k+,kZ)2第三象限角:(2k+2k+,kZ)23第四象限角:2(2k+2k+2,kZ或2k-2k,kZ)23一、角的基本概念四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制rad1180180rad180130.571801rad（4）弧长公式和扇形面积公式.rlrnrnl1802360rlrrS212122222360360rnrnS度弧度003064543602120321354315065270231803602902、角度与弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表一、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r的终边sin,cos,tanyxyrrx二、同角三角函数的基本关系式商关系：sintancos平方关系：22sincos122yxr4.三角函数的符号sincosxyo01-10++__100-1xyo++__不存在xyo00不存在_+_+tan三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”正弦线：余弦线：正切线：（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。2.正弦线、余弦线、正切线xyOPTMA有向线段MP有向线段OM有向线段AT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线POMPOMPOMPOMMP为角的正弦线,OM为角的余弦线为第二象限角时为第一象限角时为第三象限角时为第四象限角时6.诱导公式:公式1sin)2sin(kcos)2cos(ktan)2tan(k公式2：-sinsin(）-coscos(）tantan(）公式3：sinsin(）-coscos(）tantan(）公式4：-sin2sin(）cos2cos(）tan2tan(）公式5：-sinsin(）coscos(）tantan(）奇变偶不变，符号看象限！（注意：把看作是锐角）诱导公式总结：口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：212kkZkk（）的三角函数值）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；你记住了吗？度弧度0003004506009001200135015001800270036006432233456322sincostan212333212332123321233312222122220101001001010函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-1xRxR[1,1]y[1,1]y22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk增函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数．y=sinxyx1-1/22o3/2．．．．．/23/22oyxy=cosx．．．1-1对称点：(k,0)对称轴：x=k+2对称轴：x=k对称点：(k+,0)2T/2k∈Zk∈ZT/23、正切函数的图象与性质y=tanx图象22xyo2323定义域值域},2|{NkkxxR奇偶性奇函数周期性T单调性))(2,2(Zkkk正切函数的性质：6、对称性：对称中心(,0)2kxOy11223222341y1y)sin(xAy振幅初相（x=0时的相位）相位2:T周期1:2fT频率2、函数的图象（A0,0))sin(xAyxysin第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1101)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy第二种变换：xysin横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1011xysin图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy两角和与差的正弦、余弦、正切：():S():S():C():C():T():Tsin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan要熟记公式！二倍角公式：2:S2:C2:Tsin22sincos22cos2cossin22cos1212sin22tantan21tan2cos2α1αcos22cos2α1αsin2降幂公式：要熟记公式！一个化同角同函数名的常用方法：如：sin3cos2sin()2cos()36sincos2sin()2cos()44]cos,sin[)sin(cossin222222baababxbaxbxa其中要熟记公式！平面向量复习向量的三种表示表示运算向量加法与减法向量的相关概念实数与向量的积三角形法则平行四边形法则向量平行、垂直的条件平面向量的基本定理平面向量向量的数量积向量的应用一、向量的定义既有大小，又有方向的量叫做向量。二、向量的表示方法有向线段（起点、）1几何表示法：a，b2字母表示法：ABB（终点）A（起点）方向、长度单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。2．两个特殊向量：问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？三、向量的有关概念零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0。1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。|a||AB|或记作P3．向量间的关系平行向量又叫做共线向量如：abc（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作a∥b∥c规定：0与任一向量平行。COC=cAOA=aOB=bB向量相等向量平行平行向量一定是相等向量吗?相等向量一定是平行向量吗?（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：a=b规定：0=0abo.baABCDDCBA向量的加法：1三角形法则:求两个向量和的运算叫做向量的加法.baBba+b根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。aA,,,,,.abOOAaABbOBabababOAABOB已知向量和在平面内任取一点作则向量叫做和的和记作即=+=首尾顺次相连O两种特例(两向量平行)ABC方向相同方向相反BCAabababACabACbaAaaaaaaaabbbBbaDaCba+b作法:(1)在平面内任取一点A；(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b；（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.2、向量加法的平行四边形法则注意起点相同.共线向量不适用向量加法的运算律交换律：abba结合律：)()(cbacba想一想1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?0aaaa）（）（aaa002.零向量和任一向量的和为什么?a说明：１、与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量２、零向量的相反向量仍是零向量３、任一向量和它相反向量的和是零向量(),abab定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。表示：bb向量减法:二、向量减法的三角形法则OABabba1O在平面内任取一点2OAa,OBb作3ab则向量BA.注意：1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同2、差向量的终点指向被减向量的终点向量的减法•特殊情况1.共线同向2.共线反向abBACababABCab一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λbab,、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量以及任意实数恒有12、、，22aa11(b)=b•平面向量的数量积•（1）a与b的夹角：•（2）向量夹角的范围：•（3）向量垂直：[00，1800]abθ共同的起点aOABbθOABOABOABOAB（4）两个非零向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积为0a·b=|a||b|cosθ几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a·b=x1·x2+y1·y25、数量积的运算律：⑴交换律：abba⑵对数乘的结合律：)()()(bababa⑶分配律：cbcacba)(注意：数量积不满足结合律)()(:cbacba即3.平面向量的数量积的性质(1)a⊥ba·b＝0(2)a·b＝±|a|·|b|(a与b同向取正，反向取负)(3)a·a＝|a|2或|a|＝√a·a(4)(5)|a·b|≤|a||b|babacosθ4.平面向量的数量积的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·