第四章 三角函数与三角形4-1角的概念的推广与任意角的三角函数

第4章第1节一、选择题1．(2010·广州检测)若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]C[解析]∵sinα0，∴α为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上，∵tanα0，∴α为第一、三象限角，∴α为第三象限角．2．(2010·安徽省168中学联考)已知集合A＝{(x，y)|y＝sinx}，集合B＝{(x，y)|y＝tanx}，则A∩B＝()A．{(0,0)}B．{(π，0)，(0,0)}C．{(x，y)|x＝kπ，y＝0，k∈Z}D．∅[答案]C[解析]函数y＝sinx与y＝tanx图象的交点坐标为(kπ，0)，k∈Z.3．(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点Psin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.56πB.116πC.23πD.53π[答案]B[解析]由条件知，cosα＝sin2π3＝sinπ3＝32，sinα＝cos2π3＝－cosπ3＝－12，∴角α为第四象限角，∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.4．(2010·山东师大附中模拟)cos－523π＝()A．－12B．－32C.12D.32[答案]A[解析]cos－52π3＝cos52π3＝cos17π＋π3＝－cosπ3＝－12.5．(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P(－4a,3a)(a0)，则sinα的值为()A.35B．－35C.45D．－45[答案]B[解析]∵a0，∴r＝－4a2＋3a2＝－5a，∴sinα＝3ar＝－35，故选B.6．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cosa＋b2＝()A．0B.22C．－1D．1[答案]D[解析]由条件知，a＝－π2＋2kπ(k∈Z)，b＝π2＋2kπ，∴cosa＋b2＝cos2kπ＝1.7．(2010·青岛市质检)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为()A．－12B．－32C.12D.32[答案]A[解析]由条件知，π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝π3，∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝cos2π3＝－cosπ3＝－12，故选A.8．(2010·衡水市高考模拟)设a＝log12tan70°，b＝log12sin25°，c＝log12cos25°，则它们的大小关系为()A．acbB．bcaC．abcD．bac[答案]A[解析]∵tan70°cos25°sin25°0，log12x为减函数，∴acb.9．(2010·北京西城区抽检)设0|α|π4，则下列不等式中一定成立的是()A．sin2αsinαB．cos2αcosαC．tan2αtanαD．cot2αcotα[答案]B[解析]当－π4α0时，A、C、D不成立．如α＝－π6，则2α＝－π3，sin2α＝－32，sinα＝－12，－32－12，tan2α＝－3，tanα＝－33，cot2α＝－33，cotα＝－3，而－3－33，此时，cot2αcotα.10．如图所示的程序框图，运行后输出结果为()A．1B．2680C．2010D．1340[答案]C[解析]∵f(n)＝2sinnπ3＋π2＋1＝2cosnπ3＋1.由S＝S＋f(n)及n＝n＋1知此程序框图是计算数列an＝2cosnπ3＋1的前2010项的和．即S＝2cosπ3＋1＋2cos2π3＋1＋2cos3π3＋1＋…＋2cos2010π3＋1＝2cosπ3＋cos2π3＋cos3π3＋…＋cos2010π3＋2010＝2×335×cosπ3＋cos2π3＋cos3π3＋cos4π3＋cos5π3＋cos6π3＋2010＝2010.二、填空题11．(2010·南京调研)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．[答案]10[解析]根据题意知tanα＝－6x＝－35，所以x＝10.12．已知△ABC是锐角三角形，则点P(cosB－sinA，tanB－cotC)，在第________象限．[答案]二[解析]∵△ABC为锐角三角形，∴0Aπ2，0Bπ2，0Cπ2，且A＋Bπ2，B＋Cπ2，∴π2Aπ2－B0，π2Bπ2－C0，∵y＝sinx与y＝tanx在0，π2上都是增函数，∴sinAsinπ2－B，tanBtanπ2－C，∴sinAcosB，tanBcotC，∴P在第二象限．13．在(0,2π)内使sinxcosx成立的x的取值范围是______．[答案](π4，5π4)[解析]由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sinxcosx成立的x的取值范围为(π4，5π4)．[点评]要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中的应用．14．(文)(2010·上海嘉定区模拟)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点Acosα，35，则cosα－sinα＝________.[答案]－75[解析]由条件知，sinα＝35，∴cosα＝－45，∴cosα－sinα＝－75.(理)(2010·北京延庆县模拟)直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边(O是坐标原点)的角为α，OB为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案]－45[解析]将y＝2x＋1代入x2＋y2＝1中得，5x2＋4x＝0，∴x＝0或－45，∴A(0,1)，B－45，－35，故sinα＝1，cosα＝0，sinβ＝－35，cosβ＝－45，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－45.[点评]也可以由A(0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sinπ2＋β＝cosβ＝－45.三、解答题15．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．[解析]∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－66，1tanα＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同理可求得sinα＋1tanα＝65－66.16．(文)已知sinθ、cosθ是方程x2－(3－1)x＋m＝0的两根．(1)求m的值；(2)求sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ的值．[解析](1)由韦达定理可得sinθ＋cosθ＝3－1①sinθ·cosθ＝m②由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－23.将②代入得m＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m≥0，故所求m的值为32－3.(2)先化简：sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ＝sinθ1－cosθsinθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝cos2θ－sin2θcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθ＝3－1.(理)已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)，(1)求sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．[解析](1)由韦达定理可知sinθ＋cosθ＝3＋12①sinθ·cosθ＝m2②而sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12；(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝2＋32，将②代入得m＝32；(3)当m＝32时，原方程变为2x2－(1＋3)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12，∴sinθ＝32cosθ＝12或sinθ＝12cosθ＝32又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6或π3.17．周长为20cm的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．[解析]设扇形半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，∴l＝20－2r，S＝12rl＝12(20－2r)·r＝(10－r)·r，∴当r＝5时，S取最大值．此时l＝10，设卷成圆锥的底半径为R，则2πR＝10，∴R＝5π，∴圆锥的高h＝52－5π2＝5π2－1π，V＝13πR2h＝π3×5π2·5π2－1π＝125π2－13π2.