简析高斯定理在电场中的应用

简析高斯定理在电场中的应用河南平顶山工业职业技术学院467001王广云冯小妞摘要：本文主要介绍了电通量、高斯定理、高斯定理在对称电场的应用及解题步骤.关键词：电通量；高斯定理；对称电场；应用；步骤SimpleAnalysisoftheApplicationofGaussTheoreminelectricfieldPingdingshanIndustrialCollegeofTechnology467001WangguangyunFengxiaoniuAbstract:Thearticlemainlyelaboratedtheelectricflux,theGaussTheorem,theapplicationofGaussTheoreminthesymmetricalelectricfieldandthestepsofsovlngproblems.Keyword:electricflux;GaussTheorem;Symmetricalelectricfield;application;step高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算.如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测.下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析.一、电通量通过电场中某个曲面的电场线的条数称为电场强度E的通量，简称电通量。在匀强电场中，各点的E相等。通过任一平面S的电场线条数与通过S的电场线条数相等(图-1).S为S在垂直与电场方向上的投影面积.如果S的法线方向ne与场强E的夹角为，则cosSS通过S的电场线条数为通过S面上各面积元dS的条数的总和，即edEdS，故得EdSecosES推广到封闭曲面。如果S是一个封闭面，则sedSE二、真空中的高斯定理设真空中有一个正的点电荷q，以点电荷q所在处为中心，r为半径，作一个包围电荷q的球面，如图-2所示图-1图-2球面上各点的场强大小为204rq，方向沿半径向外，而球面上任一点的法线也沿半径向外，即=0，1cos，有EdsdsE022020444qrrqdsrqEdsdsEssse由于q所发出的电场线不会中断，因此不管闭合曲面取什么形状，与q所发出的电场线垂直的有效曲面都是一个球面，即穿过包围电荷q的任一曲面的电通量均为0q.设闭合曲面S面内的电荷为q，则有sseqdsE0)(内上式表明，穿过一个封闭曲面的电通量等于该曲面内所有电荷的代数和除以0，这就是真空中的高斯定理.三、高斯定理在电场中的应用［例题1］设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为=9.3×10-8C/m2，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点A的场强，在左取它的对称点B，以AB为轴线作一圆柱，如图-3所示.对圆柱表面用高斯定理，图-3seeeqdsE0两个底面侧面(1)0侧e(2)ESe2两个底面(3)圆柱内的电荷量为Sq(4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得02E=1281085.82103.9V/m=5.25×103V/m［例题2］设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为=5.0×10-9C/m，放置在真空中，求空间距直线1m处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).图-4根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l，半径为r的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：seeeqdsE0两个底面侧面(1)rlEESe2侧侧(2)0两个底面e(3)圆柱内的电荷量为lq(4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得rE02=11085.814.32100.5129V/m=89.96V/m［例题3］设有一半径为R的均匀带正电球面，电荷为q，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P的的场强具有对称性,方向由球心O到P的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E的大小相等.根据场强的分布，我们取一半径为r且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示.图-5若Rr，高斯面2S在球壳内，对球面2S用高斯定理得seqrEdsE024球内因为球壳内无电荷，0q，所以0球内E若Rr，高斯面1S在球壳外，对球面1S用高斯定理得qq，故有024qER204rqE由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.四、高斯定理在电场中的一般应用步骤:(1)判断电场的分布特点；(2)合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3)找出电场在高斯面内的垂直面积S；(4)分析高斯面内的电荷量q；(5)应用高斯定理求解(sseqdsE0)(内).我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强，但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.