第八章弹性体应力与应变

第八章弹性体的应力和应变8.1.1一钢杆的横截面积为425.010m，所受轴向外力如图所示，试计算A、B，B、C和C、D之间的应力.41F610N，42F810N，43F510N，44F310N。[解答]建立坐标系O-x，水平向右为正方向，作垂直于Ox的假想截面123s,s,s于AB间E处，BC间G处，CD间H处.42123sss5.010m以杆的全部为隔离体。受力1234F,F,F,F杆所受合力1234F=FFFFX轴上投影：1234FFFF0合力为零，杆平衡。在以杆的AE部为隔离体，受力1F，1s面外侧对它的应力1根据平衡方程8111Fˆ1.210ns由于1与X轴同向，8211.210(N/m)为拉应力。在以杆的AG部为隔离体，经过同样分析可得：8220.410(N/m)为压应力最后以杆的AH部为隔离体，经过同样分析可得：8230.610(N/m)为拉应力。8.1.2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力不得超过7max1610Pa.问B处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）.[解答]以杆AB为隔离体。受力F,T，建立坐标系Axy,z轴如图。根据刚体平衡时M0i，在z轴方向投影方程为：220.81.6F1.0T01.00.8得到F=0.39T对CD，因72max1.610(N/m),故2maxmaxTr所以4maxmaxF0.39T1.9610(N)8.1.3图中上半段为横截面等于-424.010m且杨氏模量为106.910Pa的铝制杆，下半段是横截面为421.010m且杨氏模量为1019.610Pa的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为77.810Pa，钢杆内允许的最大应力为713.710Pa.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量.[解答]对于铅杆允许最大内力为4max1max11Fs3.1210(N)对于钢杆允许最大内力为4max2max22Fs1.3710(N)所以杆的最大承受能力是：41.3710(N)根据胡克定律。在力4F1.3710(N)的作用下铅杆伸长量为111111111FFYssY故TyxFACDB1.0m0.6m0.8mF3m2m同理钢杆的伸长量为2222FsY所以总的伸长量312121122FF2.8910(m)sYsY8.1.4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为86.010Pa.[解答]以电梯和最大负载为物体系，受力1212WW(mm)g由牛顿第二定律：121212gF(mm)g=(mm)56gF(mm)5对某根钢索，根据题意82max2maxmax6.010(N/m)dF()2max2max123max0.7FFFd()0.726g(mm)45d6.1510(m)0.78.1.5(1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为.此材料的泊松系数为.求证杆体积的相对改变为OxF00VV(12).V0V表示原来体积，V表示变形后的体积.（2）上式是否适用于压缩？（3）低碳钢杨氏模量为10Y19.610Pa，泊松系数0.3，受到的拉应力为1.37Pa，求杆体积的相对改变.[解答]（1）设杆长为0，横截面积的二边长为00a,b。1，（1为横向应变，为长应变）拉伸时〉0，1〈0故10010100000000vv(1)(1)a(1)babvab21222(1)(1)1(1)(12)1(2(12)展开略去项)（2）压缩时110,0,仍有所以上式对压缩时亦适用（3）根据胡克定律Y所以Y故120VV(12)2.810VY8.1.6（1）杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为F()Sxx（2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于2FSY2Y[解答]（1）建立坐标系o—x如图，在x处作垂直于ox轴假想截面s,以x0x=x到的一段杆为隔离体，ˆF,W=-rsxi,受拉力重力s面外侧内力ˆˆPsnsixx由平衡方程FWP0Frss0xx则F()rsxx（2）根据胡克定律:n0F(x)Y,Ys则(x)Yx→d(x)dxY所以20(x)FrddxYsY2Y（为杆长）8.2.1在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为2S90cm。二刀口间的垂直距离为d0.5cm。当剪切力为5F710N时，求（1）钢板中的切应力，（2）钢板的切应变，（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量10N810Pa。[解答]（1）2S90cm，剪切力5F710N。根据切应力定义：钢板中的切应力为72F7.7810(N/m)s（2）根据剪的胡克定律N钢板的切应变49.710(rad)N（3）根据剪切应变的定义d，则6d4.910(m)8.3.1一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角。对同样尺寸的钢管在计算一遍。已知铝的剪切模量10N2.6510Pa，钢的剪切模量为10N8.010Pa[解答]设管直径为D，壁厚为d，管长为，外力矩为M。根据切应力的定义，注意到Dd有：切应力2M12MD/2DdDd根据剪切的胡克定律22MNNDd则扭转角344MD/2DdN（1）对于铝管取10N2.6510得：34M0.376(rad)DdN（2）对于钢管取10N810得：34M0.124(rad)DdN8.3.2矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。各以横截面的长和宽作为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。[解答]设梁横截面长为0a2d,宽0b3d。根据公式3112Mk=RYbh有31Y3d(2d)R12M32Y2d(3d)R12M，所以12R4R98.3.3某梁发生纯弯曲，两长度为L，宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R，材料杨氏模量为N，求其总形变势能。[解答]建立坐标系O—z，竖直向下为z轴正方向，原点O位于中性层内。因压缩拉伸弹性势能密度02P1EY2。所以对于zd一层：(Rz)Rz，原长L=R则zzLRR故2P1zdEY()Lbdz2R因此总形变势能为：3h/2h/22PP2-h/2-h/21zYLbhE=dEY()Lbdz2R24R