浅谈定积分的应用

浅谈定积分的应用********（天津商业大学经济学院，中国天津300134)摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。关键词定积分定积分的应用求旋转体体积变力做功TheApplicationofDefiniteIntegral********(TianjinUniversityofCommerce，Tianjin，300134，China)Abstract:Definiteintegralinourdailylifeandlearninghavealotofuse,thispaperexpoundsthedefinitionofdefiniteintegralandgeometricmeaning,andthroughtheexampleanalysisofthedefiniteintegralinthehighermathematics,physics,economics,andotherfieldsofapplicationconditionanditsapplications,throughtheanalysiscanbeseenthattheuseofdefiniteintegraltosolvesomepracticalproblemsisveryconvenientandaccurate.Keywords:definiteintegral,theapplicationofdefiniteintegral,strivesforthebodyofrevolution,volumechangeforceswork0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。1定积分的基本定理和几何意义1.1、定积分的定义定积分就是求函数)(xf在区间ba,中图线下包围的面积。即由0y，ax，bx,xfy所围成图形的面积。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果)(xf是ba,上的连续函数，并且有)('xfXF，那么1)(aFbFdxxfba用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。1.2、定积分的几何意义badxxf2)(当0)(xf时，badxxf)(是曲边梯形的面积如图1a所示；当bxaxf0)(时，badxxf)(是曲边梯形的面积的负值1b所示；（a）0)(xf(b)bxaxf0)(图1定积分的几何意义图示2定积分的应用1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线xy42与直线42xy围成的平面图形D的面积S。2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数tvv，0vt在时间区间ba,上的定积分。3，变力做功某物体在变力xFF的作用下，在位移区间ba,上做的功等于xFF在ba,上的定积分。3定积分的应用举例3.1、平面图形的面积3.1.1、直角坐标系下平面图形的面积(1)X－型与Y－型平面图形的面积把由直线ax，bx，ba及两条连续曲线xfy1，xfy2，xfxf21所围成的平面图形称为X－型图形如图2a；把由直线cy，dydc及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)g2(y))所围成的平面图形称为Y－型图形。如图2b（a）X－型图形(b)Y－型图形图2平面图形的面积注意：构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点。把X－型图形称为X－型双曲边梯形，把Y－型图形称为Y－型双曲边梯形。１）用微元法分析X－型平面图形的面积取横坐标x为积分变量，bax,。在区间ba,上任取一微段dxxx,，该微段上的图形的面积dA可以用高为xfxf12、底为dx的矩形的面积近似代替。因此3dxf-xfdA12x从而4.)]()([A12badxxfxf２）微元法分析Y－型图形的面积5.)]()([A12dcdyygyg对于非X－型、非Y－型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X－型图形和Y－型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积。例1求由两条抛物线xy2，2xy所围成图形的面积A。如图4所示。图4解解方程组,,22xyxy得交点(0，0)，(1，1)。将该平面图形视为X－型图形，确定积分变量为x，积分区间为[0，1]。由公式(5)，所求图形的面积为1031023132)(A23xxdxxx=31。例2求由曲线xy22与直线22xy所围成图形的面积A。如图5所示图5解解方程组,22,22xyxy得交点(21，1)，(2，－2)。积分变量选择y，积分区间为[－2，1]。所求图形的面积为12-312-22]6141[]21)211[(Ayyydyyy=49。3.1.2、极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线rr及两条射线，，所围成的平面图形为曲边扇形。在,上任取一微段d,，面积微元dA表示这个角内的小曲边扇形面积，62dr21=dA所以27)]([21drA。例3求心形线cos1ar，0a所围成图形的积A。如图6所示。图6解因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积A是极轴上方图形A1的两倍。极轴上方部分所对应的极角变化范围为,0，由公式(7)，所求图形的面积为2)]([212Adr=02202)coscos21()]cos1([dada=20223|2sin41sin223aa。3.2、空间立体的体积3.2.1一般情形设有一立体，它夹在垂直于x轴的两个平面ax，bx之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中ba，如图所示。如果用任意垂直于x轴的平面去截它，所得的截交面面积A可得为xAA，则用微元法可以得到立体的体积V的计算公式。过微段dxxx,两端作垂直于x轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dxxAdV。因此立体体积，如图7所示。图7空间立体的体积.8)(VbadxxA例4经过一如图8所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角的一平面，可截得圆柱体一块楔形块，求此楔形块的体积V。如图8所示。图8解：据图8，椭圆方程为164422yx。过任意2,2x处作垂直于x轴的平面，与楔形块截交面为图示直角三角形，其面积为tan4132tan.21tan.2122xyyyxAtanx-482应用公式(8)V=222)4(tan8dxx=16tan202)4(dxx=3256tan。3.2.2、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l旋转一周而成的空间立体，其中直线l称为该旋转体的旋转轴。把X－型图形的单曲边梯形绕x旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积xA是很容易得到的。如:9、10，设曲边方程为xfy，bax,ba，旋转体体积记作xV。图9旋转体绕Y轴旋转的的体积图10旋转体绕X轴旋转的的体积过任意bax,处作垂直于x轴的截面，所得截面是半径为xf的圆，因此截面面积2xfxA。应用公式(8)，即得badxxfxV29)]([类似可得Y－型图形的单曲边梯形绕y轴旋转得到的旋转体的体积yV计算公式10)]([2dcdyygyV其中的ygx是曲边方程，c，d(cd)为曲边梯形的上下界。例5求曲线y=sinx(0x)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx。图11解Vx=badxxf2)]([=02)(sindxx=00]22sin[2)2cos1(2xxdxx=22。例6求由抛物线y=x与直线y=0，y=1和y轴围成的平面图形，绕y轴旋转而成的旋转体的体积Vy。图12解抛物线方程改写为x=y2，y[0，1]。由公式(10)可得所求旋转体的体积为Vy=55])[(1051041022ydyydyy3.3、平面曲线的弧长表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线。若光滑曲线C由直角坐标方程xfy，bxa，则导数xf'在ba,上连续。图13平面曲线的弧长如图13所示，在ba,上任意取一微段dxxx,，对应的曲线微段为AB，C在点A处的切线也有对应微段AP。以AP替代AB，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元ds的计算公式11)()(ds22dydx得到的公式称为弧微分公式。以C的方程y=f(x)代入，得12dx)]([1ds2xf。据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式13)]([1S2babadxxfds若光滑曲线C由方程ygxdyc给出，则yg'在dc,上连续，根据弧微分公式11、12及微元法，同样可得曲线C的弧长计算公式为dcdyyg2)]([1S例7求曲线xxyln21412ex1的弧长s。解xxxxy1212121'，ds=2)]([1xfdx=)1(21)1(4112xxdxxxdx，所求弧长为141]ln21[21)1(212e121exxdxxxdsseba。3.4物理上的应用3.4.1、变力做功物体在一个常力F的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s时，F所作的功sFW.。物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解。设力F的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动。取物体运动路径为x轴，位移量为x，则xFF。现物体从点x=a移动到点x=b，求力F作功W。如图14所示。图14变力做功在区间ba,上任取一微段dxx,x，力F在此微段上做功微元为dW。由于F(x)的连续性，物体移动在这一微段时，力F(x)的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx上就可以使用常力做功的公式。于是，功的微元为dxxFdW。作功W是功微元dW在[a，b]上的累积，据微元法14)(WbabadxxFdW例8求长0.02m要用9.8N的力，求把