搜索
初中数学“图形与几何”内容九年级上册51、旋转：（1）定义：把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转。（2）性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。52、中心对称：（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。（2）性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。53、中心对称图形：（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。（2）中心对称图形的举例。54、关于原点对称的点的坐标：点P(x，y)关于原点的对称点为P´(-x，-y)。55、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。56、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注：（1）上述定理中，共有五个条件，即：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中知其中二个可得另外三个。（2）相关计算：垂径定理的基本图形中，若半径OC、弦心距OE、弦CD（或弦的一半）、弓形高BE这四个量，知其中二个可求得另外二个。所以在相关题目中，可根据具体情况作出相应的辅助线。具体公式为：BE+OE=OB，OC2+CE2=OC2。57、弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（或所对弦的弦心距相等）。在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。（定理）几何语言：如图所示，∵AB是直径，AB⊥CD于E∴CE=DE，BC=BD，AC=AD⌒⌒⌒⌒（推论）几何语言：如图所示，∵AB是直径，CE=DE∴AB⊥CD，BC=BD，AC=AD⌒⌒⌒⌒（定理）几何语言：如图所示，在⊙O中，①∵∠AOB=∠COD∴AB=CD，AB=CD②∵AB=CD∴∠AOB=∠COD，AB=CD③∵AB=CD∴∠AOB=∠COD，AB=CD⌒⌒⌒⌒⌒⌒58、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。59、圆周角定理的推论：（1）①半圆（或直径）所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。60、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。62、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（常用辅助线：连半径，证垂直；作垂直，等半径。）63、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。（辅助线：作过切点的半径）64、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。注：若过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE=OF。即为上述定理中的“所对弦的弦心距相等”。OCBA（推论）几何语言：如图所示，在⊙O中，①∵AB是直径（或弧AB是半圆）∴∠C＝90°②∵∠C＝90°∴AB是直径（性质）几何语言：如图所示，在⊙O中，∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠C＝180°（或∠B+∠D＝180°）LAO（判定定理）几何语言：如图所示，在⊙O中，∵OA是半径，OA⊥L于A∴直线L是⊙O的切线（性质定理）几何语言：如图所示，在⊙O中，∵直线L切⊙O于点A∴OA⊥L（定理）几何语言：如图所示，在⊙O中，∵PC、PD切⊙O于A、B两点∴PA=PB，∠APO=∠BPOEODCBAPGFPABCDOE注：如左图，若在图中再添加几条线段，则图形涵盖了垂径定理、弧弦圆心角的关系、圆周角定理（推论）、圆内接四边形、切线、切线长定理的基本图形。ODABCFEODCBA附几个特殊图形：ABCDEOPABCDOE65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法：位置关系名称公共点个数数量关系说明点和圆点在圆外无drd:点到圆心的距离r:圆的半径点在圆上d=r点在圆内dr直线和圆相离0个drd:直线到圆心的距离r:圆的半径相切只有1个d=r相交2个dr圆和圆外离0个dr1+r2d:圆心距r1、r2:圆的半径(r1r2)外切只有1个d=r1+r2相交2个r2-r1dr1+r2内切只有1个d=r2-r1内含0个dr2-r166、三角形的外心和内心：（1）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外。（2）三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等；（3）三角形的内心是三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。①⊙O是Rt△ABC的内切圆，D、E是切点，则四边形ODCE是正方形。②S△ABC＝21（AC+BC+AB）·OD（此公式对于一般三角形也成立）PB、PA、CD分别切⊙O于B、A、E，则△PCD的周长等于PB+PA，即：△PCD的周长＝2PB如左图所示：AB是直径，CA、CD、DB分别切⊙O于A、E、B，则①∠COD＝90°②再连接OE，则△ACO≌△ECO，△DEO≌△DBOEODCBA67、正多边形：68、弧长公式：L=nπR／180（n：圆心角度数；R：半径）69、扇形面积：S扇形=nπR／360=LR／2（n：圆心角度数；R：半径；L：弧长）70、求阴影部分的面积：认真观察图形，注意图形特征。71、圆锥与扇形的关系：（1）圆锥的母线（PB）是其侧面展开图扇形的半径；圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。（2）圆锥的母线（PB）、圆锥的高（PO）、底面圆半径（OB）构成一个直角三角形。72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。73、与半径相等的弦所对的圆心角是60°。九年级下册74、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。（以相似三角形为例）ABCDEF75、相似比为1时，相似的两个图形全等。76、平行线分线段成比例定理：①三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。应用于三角形中，会出现以下两种情况：②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。几何语言：如左图所示：∵△ABC∽△DEF∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，DEAB=EFBC=EFACGABCDEFO如左图所示：①正多边形的每一个内角，如∠A＝（n-2）×180°／n，中心角∠COD＝360°／n②正n边形的半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形③正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形OABP如左图（1）：∵L3∥L4∥L5，∴AD：AB=AE：AC；AD：DB=AE：EC；DB：AD=EC：AE；DB：AB=EC：AC如左图（2）：∵L3∥L4∥L5，∴DA：AC=EA：AB；DA：DC=EA：EB；AB：EA=AC：DA；AB：EB=AC：DC（1）（2）L1L2L5L4L3L2L1EDCBAEDCBA77、三角形相似的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。DECBA（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。ABCDEF78、相似直角三角形的判定方法：①一般三角形相似的判定方法也适用。②满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。FEDBCA79、相似多边形（三角形）的相关量的比：①相似多边形（三角形）周长的比等于相似比；相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。②相似多边形（三角形）面积的比等于相似比的平方。78、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。80、锐角三角函数：（1）定义：如右图，sinA=cosB=ABBC，sinB=cosA=ABAC，tanA=ACBC，tanB=BCAC。几何语言：如图所示：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC几何语言：如图所示：（2）∵DEAB=EFBC=EFAC∴△ABC∽△DEF（3）∵DEAB=EFBC，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF（4）∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF第（3）（4）还有其它情况，也成立。BAC几何语言：如图所示：②∵DEAB=EFBC（或DEAB=EFAC）∴△ABC∽△DEF（2）特殊角的三角函数值：30°45°60°(正弦)sin21(余弦)cos21(正切)tan1381、解直角三角形：(1)定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。（元素指三边和两个锐角）(2)求解过程中，用到的关系：①三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）；②两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；③边角之间的关系：sinA=cosB=ABBC，sinB=cosA=ABAC，tanA=ACBC，tanB=BCAC。（3）用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形问题）；→根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；→得到数学问题的答案；→得到实际问题的答案。82、投影与视图：(1)平行投影、中心投影、正投影:①定义：由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影；投影线垂直于投影面产生的投影是正投影。②当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。(2)三视图：①三视图分别为主视图、左视图、俯视图；（在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。）②三种视图的位置如右图：③画几何体的三视图时，要注意“长对正、高平齐、宽相等”（主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等），还要注意看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。④根据三视图说出立体图形的名称：要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。2223232233主视图左视图俯视图11常用辅助线：BADCBACBA1、连接AB。2、过点A作AD⊥BC于D。3、延长AB到C，使BC=21AB。4、过点O作OE⊥AB于E，延长OE交⊙O于C。ECBAOHGFABCDE5、延长CG交AF于点H。ABCDE6、分别延长BA、CD交于E。EABCD7、过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E。ABCDE8、过点D作DE∥BC，交AC于E。21121