数学归纳法中的几何问题

数学归纳法中的几何问题典型例题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这n个圆把平面分成n2-n+2个部分。分析：用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时，分点增加多少，区域增加了几块，本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题得到了解决。证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，12-1+2=0，命题成立。（2）假设当n=k时命题成立（k*N）,k个圆把平面分成k2-k+2个部分。当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成了k2-k+2个部分，第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成了k2-k+2+2k=（k+1）2-(k+1)+2个部分，即当n=k+1时命题成立。由（1）、（2）可知，对任意的n*N命题都成立。点评：证明几何问题，一般是遵循“点——线（弧）——面”的原则，就本题而言，增加一个圆（即第k+1个圆），则“点”——其它k个圆与第k+1个圆共有2k个交点；“线（弧）”——2k个交点将第k+1个圆分成2k条弧；“面”——每一段弧将原属于每个区域的部分一分为二。跟踪练习：1、凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为A.f（n）+n+1B.f（n）+nC.f（n）+n－1D.f（n）+n－22、设k棱柱有f(k)个对角面则，k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。3、如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n=1，2，3，…），则第n－2个图形中共有____________个顶点.4、平面内有n(n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，利用数学归纳法证明线段的条数为f(n)，则由n=k到n=k+1增加的线段数是。5、球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大圆所分成的部分为f(n),则下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2中,正确的是()(A)①与②(B)①与③(C)②与③(D)只有③6、如果一个凸多面体是n棱锥，设这个n棱锥的所有顶点所确定的直线条数为f(n)，利用数学归纳法证明f(n)=2)1(nn。7、平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成21（n2+n+2）块.参考答案：1、C解析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n－2个顶点连成的n－2条对角线，及原先的一条边成了对角线.2、k-1解析：由于第k+1个棱可以与剩余的k个棱中的2个相邻所以,它可以与k个棱中的k-2个形成对角面又由于多了一条棱,也就在原来的k棱柱的基础上多了一个开口,因此,这个开口还可以形成一个对角面所以,总的来说,多了k-2+1=k-1个因此,f(k+1)=f(x)+k-13、n2+n解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）;第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4;第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5;…第n－2个图形有（n+2－2）2+（n+2－2）=n2+n个顶点.4、2k-1解析：增加一条直线，该直线被原来的k条直线分出k-1段线段，而原来的k条线段中的每一条，都多出1条线段，因此增加了k-1+k=2k-1条。5、6、证明：（1）当n=3时，这些顶点构成6条直线，而243=6，命题成立.（2）假设n=k时，k≥3命题成立，即f(k)=2)1(kk,当n=k+1时，即底面由k边形变成k+1边形,增加的底面的一个顶点与原来凸k棱锥的k+1个顶点都可以连成直线，因此增加k+1条直线，即f(k+1)=f(k)+k+1=2)1(kk+k+1=2]1}1)[(1(kk,这说明当n=k+1时，命题也成立.由（1）（2）知，对一切n∈N*，命题都成立.7、证明：（1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立.（2）假设n=k时，k≥1命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成21（k2+k+2）块，那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块.所以k+1条直线把平面分成了21（k2+k+2）+k+1=21［（k+1）2+（k+1）+2］块，这说明当n=k+1时，命题也成立.由（1）（2）知，对一切n∈N*，命题都成立.