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平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教案东宁县绥阳中学教学目的：（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=02．运算定律结合律：λ(μa)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.二、讲解新课：1．思考：（1）给定平面内两个向量1e，2e，请你作出向量31e+22e，1e-22e，（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e+λ22e的向量表示？平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.2．探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量3．讲解范例：例1已知向量1e，2e求作向量2.51e+32e例2本题实质是4．练习1：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(D)A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知向量a＝e1-2e2，b＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c＝6e1-2e2的关系（Ｂ）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．(填共线或不共线).5．向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作aAO，bBO，则∠AOB＝，叫向量a、b的夹角，当=0°，a、b同向，当=180°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，记作a⊥b。6．平面向量的坐标表示（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia…………○1我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa…………○2.),R(,OPOBOAtABtAPOBOA表示，用且不共线、如图，OABP.1,nmOBnOAmOPABPBAO且上，则在直线若点三点不共线，、、已知其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(yx.特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA，则点A的位置由a唯一确定.设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.7．讲解范例：例2．教材P96面的例2。8．课堂练习：P100面第3题。三、小结：（1）平面向量基本定理；（2）平面向量的坐标的概念；四、课后作业：《习案》作业二十一