优化设计1--建模及数学基础

2020/1/71第3章优化设计3.1优化设计概述3.2优化方法的数学基础3.3一维优化问题3.4多维无约束问题3.5多维有约束问题3.6机械最优化设计中的其他相关问题3.7优化设计工具软件2020/1/723.1优化问题概述一、优化问题的基本概念二、优化问题的数学模型三、优化问题的几何描述2020/1/73一、优化问题的基本概念概述：优化设计是一种用数学方法解决设计问题的设计方法，借助计算机技术实现复杂的计算工作。在多个可行方案中选择最好的一个。（1）建立数学模型——选取变量，建立优化问题的目标函数和约束条件；（2）求解数学模型——在给定的条件下求目标函数的极值或最优值问题。机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下，在机械产品的性态、几何尺寸等因素的限制范围内，以其性能、强度和经济性等为优化现象，选取变量，建立目标函数和优化条件并求解最优值的一种现代设计方法。2020/1/74某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要材料9Kg、3个工时、4KW电，可获利60元。生产乙种产品每件需要材料4Kg、10个工时、5KW电，可获利120元。若每天能供应材料360Kg，有300个工时，能供200KW电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能获得最大的利润。例12020/1/75目标：利润F变量：甲数量x1，乙数量x2max12060),(2121xxxxf（材料约束）3604921xx（工时约束）30010321xx（电力约束）2005421xx0,021xx约束max12060),(2121xxxxf例12020/1/76某化工厂生产A,B,C,D四种化工品，生产每种产品一吨所消耗的工时和产值如下表：要求全厂年产量在1000万元以上，求当消耗的总工时最少时，该厂生产各种产品的数量。解：设该厂全年生产A、B、C、D四种产品的数量分别为x1、x2、x3、x4（单位为吨），消耗的总工时为y，则y=100x1+300x2+400x3+75x4=f(x1,x2,x3,x4)例22020/1/77满足的限制条件：x1+5x2+10x3+0.5x4≥10000(1)xi≥0i=1,2,3,4(2)则以上问题可以简化为在（1）、（2）条件下，求min(y)时x1,x2,x3,x4的值。2020/1/78例32020/1/79例32020/1/710例32020/1/711例32020/1/712总结：优化问题主要是建立数学模型，求极值。一个最优化设计问题应包含：设计变量、目标函数、约束条件。设计变量：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数。目标函数：设计中预期要达到的目标。约束条件：设计变量取值时的限制条件。2020/1/713二、优化问题的数学模型优化数学模型根据研究的问题，建立设计变量与目标函数之间的关系，以及设计变量之间应遵守的约束条件。2020/1/7141、设计变量：独立影响目标函数的变量设计常量、优化设计的维数在一般情况下，若有n个设计变量，把第i个设计变量记为xi，则其全部设计变量可用n维向量的形式表示成：TninixxxxxxxxX2121二、优化问题的数学模型2020/1/7152020/1/716n维欧氏空间：以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示，如果其中任意两向量又有内积运算，则称为n维欧氏空间，用En表示。此就为优化设计中所谓的“设计空间”。n维空间又称为超越空间。设计空间中的一个点就是一种设计方案。2020/1/7172020/1/7182、目标函数目标函数是设计中预期要达到的目标，可表示为各设计变量的函数表达式：f(X)=f(x1,x2,…,xn)单目标函数多目标函数目标函数越多，设计的综合效果越好，求解难度越大2020/1/7192020/1/720等值线：对于具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线或曲面称为等值线（等高线）或等值面。当给定目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。2020/1/721等值线或等值面的用途：1.在极值处函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。2.当目标函数值的变化范围一定时，等值线的疏密说明目标函数值的变化缓急。3.在许多优化问题中，最优点周围往往是一族近似的同心椭圆族，每一个近似椭圆就是一条目标函数的等值线，求目标函数极值问题可归结为求其等值线同心椭圆族的中心。2020/1/7223、约束条件设计变量取值的限制条件约束条件可以用数学不等式或等式表示。可行域、不可行域如果设计点落到某个约束边界线（边界面）上，则称边界点。边界点是允许的极限设计方案。设计约束条件可分为边界约束和性态约束：边界约束：用于限制设计变量的变化范围。性态约束（性能约束）：由结构的某种性能或设计要求推导出来的一种约束条件。pjXhmiXgji,,2,10)(,,2,10)(2020/1/7234.优化问题的数学模型：S.t.SubjecttonppjXhmiXgtsRXXfjin,,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min2020/1/7242020/1/725三、优化问题的几何描述例42020/1/726例42020/1/7272020/1/7282020/1/729例52020/1/7302020/1/7312020/1/7322020/1/733小结2020/1/7343.2优化方法的数学基础一、函数的方向导数与梯度二、多元函数的泰勒公式及海森(Hessian)矩阵三、目标函数的无约束极值条件四、函数的凸性与凸函数、凹函数五、目标函数的约束极值问题六、迭代算法2020/1/7351、方向导数多元函数的微分学中我们已经知道，函数f(X)在某点的偏导数是函数在该点沿各坐标方向的变化率。依此类推，对于n维函数，沿方向S的方向导数则为：一、函数的方向导数与梯度2020/1/736方向导数表明了函数在该点沿给定方向S的变化率，是一个标量。2020/1/7372、函数的梯度在同一点处，函数沿不同方向的变化率一般是不同的。我们关心的是函数变化率最大的方向。以二元函数f(x1,x2)为例说明梯度的概念函数在某点沿任意方向S的方向导数为：TxfxfxfxfXfxfxfSfxfxfSf212121212211)(coscoscoscos2020/1/7382221)()(),cos(xfxffSfSfSfSfT当梯度▽f与S方向夹角为零，方向导数的最大值为‖▽f‖，即梯度的模就是函数的最大变化率。此方向称之为梯度方向。2020/1/739（1）函数在给定点的梯度方向是函数等值线或等值面在该点的法线方向。（2）某点梯度方向是函数在该点具有最大变化率的方向。如图：2020/1/740推广到n维函数，函数在某点的梯度定义为如下向量，其模为如下表达式：2222121)()()()(,,,)(nTnxfxfxfXfxfxfxfXf2020/1/741例：2020/1/7422020/1/7432020/1/744二、多元函数的泰勒公式及海森(Hessian)矩阵设n元函数f(X)在X(k)点至少有二阶连续的偏导，则在这一点临近的泰勒展开式取二次项时为2212122122)()(2)()()()(1,)(1)()()()()()()()())(()(21)()]([)()()()()(21)()()()(nnnkkTkkTkkkjjnjikijiknikiiikkxXfxxXfxxXfxXfXHXfXXXfXXXXXfXfXfxxxxxxXfxxxXfXfXfi2020/1/7452020/1/746三、无约束问题的最优化条件1、由微积分学知，连续可微的一元函数f(X)在某点x*处有极值的必要条件是f/(x*)=0满足上式的点为驻点，但驻点并非都是极值点。若x*点除满足上式外，还同时满足f//(x*)≠0,则为f(x)在该点取得极值的充分条件。当f//(x*)0有极小值；若f//(x*)0有极大值。2020/1/7472、多元函数有极值的条件1）必要条件n元函数在Rn中极值点X*存在的必要条件为▽f(X*)=0即在极值点处f(X*)的梯度为n维零向量。与一元函数相似，条件▽f(X*)=0仅是必要条件，而不是充分的。即X*点仅是驻点（稳定点），它可能是拐点、鞍点。2020/1/7482）充分条件当X*为驻点（梯度为零）时，X*为极小点的充分条件是在X*点海森矩阵H(X*)应是正定的X*为极大点的充分条件是：在X*点海森矩阵H(X*)应是负定的当在X*点海森矩阵H(X*)是不定的，则X*点为鞍点。注意：上述充分条件并不是必要的。即有这样的情况，尽管X*为f(X)的极小点，但不满足海森矩阵H(X*)应是正定的。2020/1/7493）下述条件可用来判断海森矩阵是否为正定或负定。一个n阶对称矩阵为正定的充要条件是其各阶顺序主子式均大于零。一个n阶对称矩阵为负定的充要条件是其各阶顺序主子式负正相间。2020/1/7502020/1/751局部极值、全局极值对于非线性规划问题,有时求出的某个解虽是一部分可行域的极值点,但并不一定是整个可行域D的全局最优解.对可能存在的几个极值点,择其函数值最小的称为全局最优点,相应的函数值称为全局最优值.定义:X*∈D，若对于适合‖X-X*‖δ(δ0)的一切X∈D，有f(X)≥f(X*),则称X*为局部极小点，称f(X*)为局部极小值。类似地可以定义局部极大点和局部极大值。四、凸集、凸函数与凸规划2020/1/752定义：X*∈D，若对于一切X∈D，均有f(X)≥f(X*),则称X*为全局极小点，称f(X*)为全局极小值。类似地可以定义全局极大点和全局极大值。如图：x1为全局最大点,x2是局部最小，x3是局部最大，x4是全局最小，而x5既是局部极小，又是局部极大点。2020/1/753四、凸集、凸函数与凸规划凸集:设D是n维欧氏空间Rn的一个点集，即D∈Rn,若任意两点X(1)∈D,X(2)∈D的连线上的一切点满足αX(1)+(1-α)X(2)∈D式中(0α1),则称D为凸集。凸函数：对于任意两点X(1)和X(2)及任意α∈[0,1],满足f[αX(1)+(1-α)X(2)]≤αf(X(1))+(1-α)f(X(2))则f(X)为凸函数。当上式的“≤”改为“”时，f(X)为严格凸函数。2020/1/754很明显，凸函数的局部极小亦为全局极小。凸函数的判别：(1)函数是凸的，则对任意两点X(1)和X(2)，有f(X(2))≥f(X(1))+(X(2)-X(1))T[▽f(X(1))](2)若函数f(X)的Hessian阵H(X)是半正定的，则f(X)是凸的;若H(X)是正定的，则f(X)是严格凸函数的。当函数上凸，即函数有极大值时，通常称为凹函数。类似的也有严格凹函数。2020/1/755凸函数凹函数2020/1/756优化设计需要求的是全局最优解。求解优化问题有许多方法，但各种方法都只是寻求局部最优解。在优化理论中，如果能确认某个优化问题是凸规划问题，则所求的局部最优解就是全局最优解。由于一般的工程优化问题的目标函数和约束条件往往较复杂，所以根本不可能采用数学中的微分学求极值的方法来求解。2020/1/757五、约束问题的最优性条件库恩—塔克(Kuhn-Tucker)条件：如果X*是一个局部最优点，且各函数梯度组成线性关系，那么，必存在非负乘子λi和另一组乘子λj,使得(i+j=1,2,…,q)成立。