二次函数的最值问题举例(附练习答案)

二次函数的最值问题举例（附练习、答案）二次函数2(0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．解：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．【例2】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x时，min1y，当2x时，max5y．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x时，求函数(2)yxx的取值范围．解：作出函数2(2)2yxxxx在0x内的图象．可以看出：当1x时，min1y，无最大值．所以，当0x时，函数的取值范围是1y．【例4】当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522yxx的对称轴为1x．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即1t时：当xt时，2min1522ytt；(2)当对称轴在所给范围之间．即1101ttt时：当1x时，2min1511322y；(3)当对称轴在所给范围右侧．即110tt时：当1xt时，22min151(1)(1)3222yttt．综上所述：2213,023,0115,122ttytttt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054mxx．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(30)x元，那么m件的销售利润为(30)ymx，又1623mx．2(30)(1623)32524860,3054yxxxxx(2)由(1)知对称轴为42x，位于x的范围内，另抛物线开口向下当42x时，2max342252424860432y当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A组1．抛物线2(4)23yxmxm，当m=_____时，图象的顶点在y轴上；当m=_____时，图象的顶点在x轴上；当m=_____时，图象过原点．2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值：(1)2245yxx；(2)(1)(2)yxx．4．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．5．对于函数2243yxx，当0x时，求y的取值范围．6．求函数23532yxx的最大值和最小值．7．已知关于x的函数22(21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为0？B组1．已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．2．函数223yxx在0mx上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．3．设0a，当11x时，函数21yxaxb的最小值是4，最大值是0，求,ab的值．4．已知函数221yxax在12x上的最大值为4，求a的值．5．求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数)．练习第五讲二次函数的最值问题答案A组1．414或2，322．2216lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x时，min318y；当2x时，max19y．5．5y6．当56x时，min336y；当23x或1时，max3y．7．当54t时，min0y．B组1．(1)当1x时，min1y；当5x时，max37y．(2)当0a时，max2710ya；当0a时，max2710ya．2．21m．3．2,2ab．4．14a或1a．5．当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x．