一类SInR传染病模型的稳定性分析

一类RSIn传染病模型的稳定性分析宋贽，惠淑荣*，陶桂洪（沈阳农业大学理学院，沈阳110866）摘要：近年来研究发现，染病者不同个体病毒水平差异很大，传染力也不同。如果疾病传播与传染力相关，其差异可以帮助解释疾病传播中某些费解现象，并且正是由于这种差异，一小部分染病者个体可能是疾病传播的主要因素，因此，本文建立一个RSIn传染病模型来研究传染力不同对疾病的影响，应用现代数学中的微分方程理论和非线性动力学的方法，得到了疾病传播的基本再生数，并进行了模拟仿真。关键词：RSIn传染病模型；全局稳定性；基本再生数；阈值StabilityAnalysisforanRSInEpidemicModelSONGZhi,HUIShu-rong*,TAOGui-hong(CollegeofScience,ShenyangAgriculturalUniversity,Shenyang110866,China)Abstract:Recentstudiesininfectedindividualsshowthatvirallevelsvarywidelybetweenindividuals.Ifinfectionsarecorrelatedwithinfectiousness,thesevariationsexplainpuzzlingresultsfrominfectionstransmissionstudiesandsuggestthatasmallsubsetofinfectedpeoplemayberesponsibleforadisproportionatenumberofinfections,therefore,weuseaRSInmodeltostudytheimpactofvariationsininfectiousness,applyingordinaryequationtheoryandnonlineardynamicsmethods,wederivethereproductivenumber,andcarryoutnumericalsimulations.Keywords:RSInepidemicmodel;GlobalStability;Reproductivenumber;ThresholdConventionalepidemicmodelsmostlyassumethatallsusceptibles,infectivesareequivalent,withoutdistinction,Infact,thisassumptionestablishesonlywhentimeisshort,closedenvironment,forstudiesonpathogenesisofinfectiousdiseasesforalongtime,largescaledoesnotapply,morerecentresearchmodelsbecomemorelikeactual,isdividedintotwomainareas:consideredassusceptibleofdifferenttypesofindividualhealth,growth,environment,andsodifferent,possibilityofcontactwithinfectedpatientswereinfectedwiththediseaseisdifferent,youcanfurtherimmunesusceptibledividedinton,accordingtotheirdegreeofsusceptibilityofdifferentgroupsofsusceptible,denoted),,2,1(,niSi,thatnSIRmodel[1];Similarly,consideredinfectedindividualsduetotheirimmunesystem,suchasinvivocharacteristicsanddifferencesoftheenvironment,abilitytospread基金项目：沈阳农业大学青年教师科研基金资助项目（20081021）作者简介：宋贽（1982-）,女,沈阳农业大学助教,硕士,从事微分方程定性和分支理论的研究。*通讯作者Correspondingauthor:惠淑荣（1963-）,女,沈阳农业大学教授,硕士,从事数学分析和应用数学研究。ofdiseaseisdifferent,soinfectivescanbefurtherdividedintonsub-groups，denoted),,,2,1(,niIithatRSInmodel[2-4],文献[2-4]主要针对艾滋病建立了传染病模型，本文在此基础上，推广到一般的传染病，并考虑康复的病人可再次被感染，得到了无病平衡点全局稳定性的阈值条件，给出了仿真图。1RSIn传染病模型假定一个国家或地区在某时刻t的总人口为)(tN，因疾病的出现总人口被分为三大类：易感者类)(tS，染病者类)(tI，恢复者类)(tR，染病者由于其免疫系统等体内特征和所处环境的差异被进一步分成n个群体，记作).,,2,1(niIi每一子群体中的病人均可与易感者S接触但有不同的传染率和恢复率，采用双线性感染力形式SI，同时忽略可能的垂直传染，则RSIn传染病模型可用如下微分方程组描述：njjjniiiiiiiniiirRRIdtdRniISIpdtdIrRSISSdtdS1110.,,1,2,,)(,)((1)其中，输入率为常数0SK，且均为易感者，即不考虑垂直免疫，自然死亡率系数为，iI类病人的恢复率系数为i，ip为染病者进入iI子群体的比例系数，,11niipr为恢复者的免疫失去率。由系统(1)不难看出，总人口)(tN满足下面的微分方程：.0NSdtdN显然，.)(lim0StNt根据文[5],系统(1)与其极限系统等价，于是系统(2)简化为.,,1,2,,)(),()(1011100niiniiiiiiininiiiiISSRniISIpdtdIISSrSISSdtdS（2）设.,,2,1,0,0,0),(10niISSISISGniiii.显然，G是系统(2)的一个正向不变集。以下仅在集合G内考虑系统(2)的轨线性态，以此对系统(1)的稳定性进行分析。2结果与分析2.1模型的平衡点定理1：令,100niiiipSR当10R时，系统(2)仅有无病平衡点),,,2,1,0,(00niISSEi当10R时，除无病平衡点0E外，系统(2)还有地方病平衡点),,,2,1,0,0(niISEi其中,00RSS)(]11)[1()(01100iniiiniiiiiRprprRSrpI.证明令系统(2)右端为零，不难发现系统(2)存在无病平衡点),,,2,1,0,(00niISSEi下面求地方病平衡点E，可得：iniiiiIrSSrpI]))([(10（3）niniiiiSrISSrI110))((（4）将(3)代入(4)，得：.)1()1)()((1110niiniiiiniiiiIrSpSpSSr由于,))((10niiIrSSr因此.11niiiiSp令,100niiiipSR于是.00RSS（5）由(3)可得：.1))((1101niiiniiiniiprpSSrI（6）将(5)、(6)代入(3),得：)(]11)[1()(01100iniiiniiiiiRprprRSrpI.(7)由(7)可知，当且仅当10R时，系统(2)存在地方病平衡点,E当10R时，仅有无病平衡点.0E2.2无病平衡点的全局稳定性定理2：对于系统(2),当10R时，无病平衡点0E在集合G内是全局渐近稳定的；当10R时，0E是不稳定的。证明：系统(2)在点0E处的Jacobian矩阵为：)(0)(0)(000201022022012010211011002010nnnnnnnnSpSpSpSpSpSpSpSpSprSrSrSrJ通过具体计算得：niiinRrJ100).1()()1(det可见，当10R时，矩阵0J至少有一个具正实部的特征根，这说明0E是不稳定的。将系统(2)写成下面的向量形式))((0DIIPSBdtdIrIEISBSSrdtdSTT（8）其中，,1,,1,1,,,,,,,,,,,,212121TTnTnTnEpppPBIIII,)(,),(),(21ndiagD而0R可被写成：.100PDBSRT系统(8)在集合G内有：.0DIIPBSDIIPSBdtdITT取Liapunov函数,1IDBVT显然，V是正定的。沿系统(8)的轨线对V函数求导可得：.)1()1()(010101IBRIBPDBSIBIPBDBSDIIPSBDBdtdVTTTTTTTT可见，当10R时，,0dtdV而且当且仅当0I时，.0dtdV即.00)(IIVGIH显然，系统(8)在H中的最大不变集是单点集,0,,0,0,0S由Lasalle不变集原理[6]可知，无病平衡点)0,,0,0,(00SE是全局渐近稳定的。2.3仿真1)对系统(2),选取如下一组参数值：,03.0)0(,02.0)0(,9.0)0(,321IISn01.0,1,1.0)0(,05.0)0(03rSIItot107.0yr(假定人的平均年龄70岁)，,)8.0,5.0,1.0(,)42.0,33.0,25.0(TTBP,)55.0,41.0,43.0(T经过计算，此时基本再生数,193.00R系统(2)的无病平衡点),,2,1,0,(00niISSEi是渐近稳定的(图1).Time(years)Time(years)图10E渐近稳定Figure10Easymptoticallystable2)对系统(2),选取如下一组参数值：,03.0)0(,02.0)0(,9.0)0(,321IISn01.0,1,1.0)0(,05.0)0(03rSIItot107.0yr(假定人的平均年龄70岁)，,)1.0,5.0,8.0(,)52.0,33.0,15.0(TTBP,)05.0,09.0,19.0(T经过计算，此时基本再生数,192.10R系统(2)的无病平衡点0E是不稳定的.(图2).图20E不稳定Figure20Eunstable3)当存在多个染病子群体时，每个染病子群体对疾病传播的影响是不同的，比较它们对传染病的相对影响大小，找到影响传染病的主要子群体，分析结果可以用来比较该流行病的敏感性，最终可以帮助指导干预策略，以减缓疫情。)(tI3)(tI)(tI1)(tI2010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.9)(tS)(tI)(tS010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Time(years)