Taylor公式的唯一性证明

Tayloy公式的唯一性证明作者：卢晓峰1.引理：设0lim()0xxgx，()gx在0x的某邻域内可导，且()gx在0x处连续。若0()(())ngxxx，则10()(())ngxxx。证明：00000000011100000()()()()()()limlimlimlimlim()()()()()nnnnnxxxxxxxxxxgxgxgxxxgxgxgxxxxxxxxxxx又0()(())ngxxx，00lim()()0xxgxgx00()lim0()nxxgxxx；000()lim0()nxxgxxx010()lim0()nxxgxxx，即10()(())ngxxx。2.唯一性证明：()fx在0x处存在n阶导，设0()()(())nnfxPxxx1。（其中()nPx为n次多项式）设1式中0(())()nxxgx。易证：()gx满足引理的条件。10()(())ngxxx，20()(())ngxxx，，(1)0()()ngxxx。()()()nfxPxgx，()()()nfxPxgx，，(1)(1)(1)()()()nnnnfxPxgx2对2中的所有等式，均取0xx的极限，则有：00()()nfxPx，00()()nfxPx，，(1)(1)00()()nnnfxPx又00(1)(1)(1)(1)(1)()()000000()()()()()()limlim()nnnnnnnnnnxxxxfxfxPxgxPxfxPxxxxx00()()nfxPx，00()()nfxPx，，()()00()()nnnfxPx。我们不妨设：2010200()()()()nnnnPxaaxxaxxaxx，由上我们可知：00()naPx，01()1!fxa，，()0()!nnfxan；即()()nnTxPx，其中()nTx为()fx的n次Tayloy多项式。