2013届高考理科数学一轮复习课时作业(60)随机数与几何概型

1课时作业(六十)第60讲随机数与几何概型[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.182．如图K60－1，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为()图K60－1A.18B.14C.12D.343．如图K60－2，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为()图K60－2A．5.3B．4.3C．4.7D．5.74．已知Ω＝{(x，y)|3x＋y≤4，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤y}，若向区域Ω内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为()A.38B.23C.14D.34能力提升5．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是()A．2－π3B．1－π6C．2－π2D．1－π126．[2011·哈尔滨九中二模]某人向平面区域|x|＋|y|≤2内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为()A.π4B.3π4C.π8D.3π67．已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，先向△ABC内随机掷点，则点落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.23D.128．[2011·长安一中质检]某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为()2A.113B.19C.14D.129．[2011·开封模拟]在不等式组2x＋y－4≤0，x＋y－3≤0，x≥0，y≥0所表示的平面区域内，点(x，y)落在x∈[1,2]区域内的概率是()A.57B.27C.314D.51410．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1区间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1].11．[2011·东北三省四市质检]在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．12．若不等式组x2－4x≤0，－1≤y≤2，x－y－1≥0表示的平面区域为M，(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是________．13．[2011·哈三中一模]已知集合M＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}表示的区域为A，集合N＝{(x，y)|y≤x2,0≤x≤1,0≤y≤1}表示的区域为B，向区域A内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域B内的概率为________．14．(10分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．(13分)设O为坐标原点，点P的坐标(x－2，x－y)．(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．难点突破16．(12分)设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．3课时作业(六十)【基础热身】1．A[解析]试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成事件A的区域长度为1min，故P(A)＝110.2．A[解析]阴影部分的面积是整个圆的面积的18.3．B[解析]根据随机模拟的思想，这个面积是10×200－114200＝4.3.4．D[解析]如图，区域Ω为三角形区域OAB，区域A为三角形区域OBC，所求的概率为△OBC与△OAB的面积之比，即P＝283＝34.【能力提升】5．B[解析]如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内．△ABC为等腰三角形，易知AD＝4，△ABC的面积是12，由于三角形内角和等于π，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2π，故空白区域的面积是12－2π，所求的概率为12－2π12＝1－π6.正确选项为B.6．A[解析]区域|x|＋|y|≤2是边长为2的一个正方形区域(如下图)，由图知所求概率P为π4.7．D[解析]根据PB→＋PC→＋2PA→＝0知，点P是△ABC的BC边上中线的中点，故△PBC的面积等于△ABC面积的12.8．B[解析]射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是19.9．B[解析]如图，题中不等式组所表示的平面区域的面积是72，在这个区域中带形区域1≤x≤2的面积是1，故所求的概率是27.410．10.72[解析]最后两组变换后为(－0.8,3.2)和(－0.4,1.2)，这两个点都在所求区域内，变换后的区域是{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}，这个面积是16，落在所求面积区域内的样本点数为67，故所求区域的面积为16×0.67＝10.72.11．1－π6[解析]半径为1的球的体积是43π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－4π38＝1－π6.12.π15[解析]如图所示：P＝12×π×1212×1＋4×3＝π15.13.13[解析]根据题意这是一个几何概型问题，所求的概率是抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的区域的面积与区域M的面积的比．P＝01x2dx1×1＝13x310＝13.14．[解答]设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a0，b0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为3×2－12×223×2＝23.15．[解答](1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如下表：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x－2，x－y)(－1,0)(－1，－1)(－1，－2)(0,1)(0,0)(0，－(1,2)(1,1)(1,0)51)||OP125101521其中基本事件是总数为9，随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝29.(2)设事件B为“P点在第一象限”．若0≤x≤3，0≤y≤3，则其所表示的区域面积为3×3＝9.由题意可得事件B满足0≤x≤3，0≤y≤3，x－20，x－y0，即如图所示的阴影部分，其区域面积为1×3－12×1×1＝52.∴P(B)＝529＝518.【难点突破】16．[解答](1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形，则构成三角形的概率P＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，则全部结果所构成的区域：0x6，0y6，0x＋y6，06－x－y6，即0x6，0y6，0x＋y6.这个区域是坐标平面内以点O(0,0)，A(6,0)，B(0,6)为顶点的三角形，其面积为12×6×6＝18.若三条线段能够构成三角形，则还应满足任意两边之和大于第三边，即满足x＋y6－x－y，x＋6－x－yy，y＋6－x－yx，即x＋y3，0y3，0x3.这个区域是以D(0,3)，E(3,0)，F(3,3)为定点的三角形，其面积是92.故所求的概率P＝9218＝14.6