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初等数论第四次作业证明题1.设n是正整数,证明6|n(n+1)(2n+1)。解:若n为偶数,则n(n+1)(2n+1)是偶数若n为奇数,则n+1是偶数,所以n(n+1)(2n+1)是偶数在证这个数能被3整除,若n被3整除,则n(n+1)(2n+1)能被3整除若n被3除余1,则2n+1能被3整除,所以n(n+1)(2n+1)能被3整除若n被3整余2,则n+1能被3整除,所以n(n+1)(2n+1)能被3整除所以6|n(n+1)(2n+1)。2.设n是整数,证明:nn3|6。证明:)1()1()1)(1()1²(3nnnnnnnnnn由此知若n=1则该式=0是6的倍数若n1则该式为三个连续正整数乘积在3个连续正整数中至少有1个是偶数即可被2整除在3个连续正整数中必有1个是3的倍数即可被3整除所以该式即可被2*3=6整除3.设x,y均为整数。证明:若yx2|7,则yx610|7。证明:yxyyxyyxyyxyx610|714|7,2|714)2(101420106104.设x,y均为整数。证明:若yx9|5,则yx78|5。证明:yxyyxyyxyyxyx785655,9|565)9(865728785.设x是实数,n是正整数,证明:nxnx][。证明:令,则由定义有,于是。由于na,n(a+1)均为整数,所以,从而,由定义得,所以。6.设p是质数,证明:mmpppp)()()()1(2。证明:因为p是质数,所以,。于是。7.证明:若ba|,db|,则cdab|。证明:由ca|,db|知存在整数p,q使得apc,bqd,所以abpqapbqcd,因为pq为整数,所以由整除的定义知cdab|。8.证明:若)(modmba,)(modmdc,则)(modmdbca。证明:由(mod),(mod)abmcdm得m︱()ab,m︱()cd,由整除的性质得m︱()abcd,即m︱acbd,所以(mod)acbdm。9.设a是大于1的整数,证明44a是合数。证明:44a=2222444aaa=22224aa=22(22)(22)aaaa由于a﹥1且是整数,所以222aa﹥1,222aa﹥1,且均为整数,故当a是大于1的整数时,44a是合数。10.设m为整数,证明:22|(2)mm。证明:因为2(1)mmmm是两个连续整数的积,所以22|()mm。又2|2,所以由整除的性质知22|(2)mm。
本文标题:2015年秋初等数论第四次作业
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