2010年名校精华重组数学试题(6)

1数学2010年天利名校精粹重组（6）数学试卷一、选择题1．iii1)21)(1(（）A．i2B．i2C．i2D．i22．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33B．72C．84D．1893．已知0xya1，则有（）A．loga（xy）0B．0loga（xy）1C．1loga（xy）2D．loga（xy）24．设奇函数f（x）的定义域为[-5,5]．若当x∈[0,5]时,f（x）的图象如右图,则不等式f（x）0的解是（）A．（-5，-2）∪（2，5B．（-5，-2）∪（2，5）C．[-2，0]∪（2，5D．（-2，0）∪（2，55．已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若cacbba//,,则；②若cacbba则,,//；③若baba//,,//则；④若a与b异面，且与则ba,//相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2005（x）＝（）A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx7．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）2数学Oxy①Oxy②Oxy③Oxy④A．96B．48C．24D．08．过抛物线2yax（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则11pq等于（）A．2aB．12aC．4aD．4a9．如果随机变量ξ～N（1,0）,标准正态分布表中相应0x的值为)(0x则（）A．)()(00xxPB．)()(00xxPC．)()|(|00xxPD．)()(00xxP10．如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有（）A．288种B．264种C．240种D．168种11．已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数f/（x）在R上也可导，且其导函数[f/（x）]/0，则y=f（x）的图象可能是下图中的（）A．①②B．①③C．②③D．③④12．设函数的集合211()log(),0,,1;1,0,122Pfxxabab，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Qxyxy，则在同一直角坐标系中，P中函数()fx的图象恰好．．经过Q中两个点的函数的个数是（）A．4B．6C．8D．10二、填空题13．xay)(log21在R上为减函数，则a的取值范围是．14．若9()axx的展开式中3x的系数是84，则a．15．设函数f（x）＝13x3＋12ax2＋2bx＋c．若当x∈（0，1）时，f（x）取得极大值；x∈（1，2）时，3数学f（x）取得极小值，则b-2a-1的取值范围．16．已知定义域为0（，）的函数f(x)满足：①对任意x0（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x]（1，2时，f(x)=2-x。给出如下结论：①对任意mZ，有mf(2)=0；②函数f(x)的值域为[0，）；③存在nZ，使得nf(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)ab上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得1(,)(2,2)kkab”。其中所有正确结论的序号是。三、解答题17．（本小题满分12分）设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，若向量(1cos(),cos)2ABmAB，5(,cos)82ABn且98mn，（1）求tantanAB的值；（2）求222sinabCabc的最大值．18．（本小题满分12分）据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在C02以下的概率为31（1）设为该地区从2005年到2010年最低气温在C02以下的年数，求的分布列。（2）设为该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在C02以下经过的年数，求的分布列。（3）求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在C02以下的概率。4数学19．（本小题满分12分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值．20．已知数列na满足411a，),2(2111Nnnaaannnn．（Ⅰ）求数列na的通项公式na；（Ⅱ）设21nnab，求数列nb的前n项和nS；（Ⅲ）设2)12(sinnacnn，数列nc的前n项和为nT．求证：对任意的Nn，74nT．正视图侧视图俯视图5数学21．（本小题满分12分）已知函数21()ln2fxxx．（1）求函数()fx在[1,e]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间[1,)上，函数()fx的图象在函数32()3gxx的图象的下方；（3）求证：[()]()nnfxfx≥22(nnN*）．22．（本题满分14分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为22，直线:22lyx与以原点为圆心、以椭圆1C的短半轴长为半径的圆相切。（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）设椭圆1C的左焦点为F1，右焦点为F2，直线1l过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直1l于点P，线段PF2的垂直平分线交2l于点M，求点M的轨迹C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．6数学PCD参考答案一、选择题1．C[解析]:iiiiiiii2)1)(1()21()1(1)21)(1(22．C[解析]：在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21,解得q=2因此a3+a4+a5=2122=843．D[解析]：∵0xya1∴1loglog1loglogayaxaaaa∴2loglog)(logayxxyaa4．D[解析]：当x∈[0,5]时,由f（x）的图象可知,x∈（0,2）时，不等式f（x）0,x∈（2,5]时，不等式f（x）0又奇函数f（x）的定义域为[-5,5]故x∈（-2,0）,不等式f（x）0,x∈)2,5[）时，不等式f（x）05．A[解析]：②正确6．C[解析]：f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x）=cosx，f2（x）＝f1′（x）=-sinx，f3（x）＝f2′（x）=-cosx，f4（x）＝f3′（x）=sinx，循环了则f2005（x）＝f1（x）＝cosx7．B[解析]:8种化工产品分4组，对应于四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，如图，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为244A=488．C[解析]：过抛物线2yax（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，设P（x1,y1）、Q（x2,y2）,则p=ayqay41,4121AB7数学设直线PQ为akxy41，联立直线方程与抛物线方程可得21yy=ak221，221161ayy11pq=2212121161)(4121ayyayyayy=4a9．D[解析]：根据定义)()(00xxP，故选D10．答案：B[解析]：分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有441124A种方法；（2）B、D、E、F用三种颜色，则有3422A34212192A种方法；（3）B、D、E、F用二种颜色，则有242248A，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264种。11．答案：C[解析]：由[f/（x）]/0知f/（x）在R上递减，即函数y=f（x）的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。12．答案：B[解析]：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0;a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，二、填空题13．答案：)1,21([解析]：∵xay)(log21在R上为减函数∴1211log021aa14．答案：1[解析]:展开式中3x的系数是3339()8484,1Caaa．15．答案：（14，1）[解析]：f´（x）＝x2＋ax＋2b，令f´（x）＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴f´(1)0f´(0)0f´(2)0，得a+2b+10b0a+b+20，在aob坐标系中，、作出上述区域如图所示，而b-2a-1的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线斜率，而P（a，b）在区域内，由图易知kPA∈（14，1）．16．答案：①②④[解析]:○10)2(2)2(2)22()2(111ffffmmmm，正确；○2取]2,2(1mmx，则]2,1(2mx；mmxxf22)2(，从而aboA(1,2)(－3,1)(－1,0)－2－28数学xxfxfxfmmm12)2(2)2(2)(，其中，,2,1,0m，从而),0[)(xf，正确；○3122)12(1nmnf，假设存在n使9)12(nf，即存在..,,21tsxx102221xx，又，x2变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4．三、解答题17．解：（1）由98mn，得259[1cos()cos828ABAB即51cos()9[1cos()828ABAB亦即4cos()5cos()ABAB所以1tantan9AB（2）因222sinsin1tan2cos2abCabCCabcabC而tantan993tan()(tantan)2tantan1tantan884ABABABABAB所以，tan()AB有最小值34当1tantan3AB时，取得最小值。又tantan()CAB，则tanC有最大值34故222sinabCabc的最大值为3818．解：（1）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在C02以下的概率为31，且每次实验结果是相互独立的。故31,6~B，以此为基础求的分布列所以的分布列为6,5,4,3,2,1,0,323166kCkPkkk（2）由于表示该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在C02以下经过的年数，显然是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，其中)5,4,3,2,1,0(kk表示前k年没有遇到最低气温在C02以下的情况，但在第1k年遇到了最低气温在C02以下的情况，故各概率应按独立事件同时发生计算。)5,4,3,2,1,0(,3132kkPk而6表示这6年没有遇到最低气温在C02以下的情况，9数学故其概率为63