02第二节二重积分的计算(一)

第二节二重积分的计算(一)分布图示★利用直角坐标系计算二重积分★关于积分限的确定★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★交换二重积分次序的步骤★例8★例9★例10★例11★例12★例13★利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算★例14★例15★例16★例17★内容小结★课堂练习★习题10-2★返回内容要点一、在直角坐标系下二重积分的计算对X型区域：)}()(,|),{(21xyxbxayx，有)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf(2.2)对Y型区域：)}()(,|),{(21yxydycyx，有.),(),()()(21yydcDdxyxfdydxdyyxf(2.3)二、交换二次积分次序的步骤（1）对于给定的二重积分,),()()(21xxbadyyxfdx先根据其积分限),()(,21xyxbxa画出积分区域D（图9-2-13）；（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限),()(,21yxydyc（3）写出结果.),(),()()()()(2121yydcxxbadxyxfdydyyxfdx三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算.在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题.如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数),(yxf的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.例题选讲在直角坐标系下二重积分的计算例1（E01）计算,Dxyd其中D是由直线2,1xy及xy所围成的闭区域.解一如图，将积分区域视为—X型,dxxydyxydxD211dxyxx12122.81148222124213xxdxxx解二将积分区域视为—Y型,Dxyddyxydyxydxyy221221222142213822yydyyy.811例2计算dyxyD221,其中D是由直线1xxy、和1y所围成的闭区域.解如图,D既是—X型,又是—Y型.若视为—X型,则原积分dxdyyxyx111221dxyxx1112/322)1(31.21)1(32)1|(|31103113dxxdxx若视为—Y型，则,111221122dydxyxydyxyyD其中关于x的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.例3（E02））计算二重积分,Dxyd其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的闭区域.解如图,D既是—X型，也是—Y型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.dyxydxxydyyD2122dyyyydyyxyy21522212])2([21222162346234421yyyy.855例4（E03）计算,2dxdyeDy其中D由1,yxy及y轴所围.解画出区域D的图形.将D表成—X型区域,得,1,10:yxxD.10122xyDydyedxdxdye因dyey2的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序.将D表成—Y型区域,得,0,10:yxyDDydxdye2dyyxedxedyyyy10100022).1(21)(211021022eydedyeyyy例5（E04）计算,||2Ddxdyxy其中D为10,11yx.解21222()(||DDDdxdyxydxdyyxdxdyxy）1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.15112121211142114dxxxdxx例6计算二重积分,dxdyeDyx其中区域D是由0,1,0yxx,1y所围成的矩形.解如图，因为D是矩形区域,且,yxyxeee所以1010dyedxedxdyeyDxyx.)1())((21010eeeyx例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解成的立体的体积.222Ryx及.222Rzx利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积,1V然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为},0,0),{(22RxxRyyxD它的顶是柱面.22xRz于是,DdxRV221dxdyxRRxR002222dxyxRxRoR22022,32)(3022RdxxRR故所求体积为.3/16831RVV交换二次积分次序的步骤例8交换二次积分xdyyxfdx1010),(的积分次序.解题设二次积分的积分限:,10,10xyx可改写为:,10,10yxy所以yxdxyxfdydyyxfdx10101010.),(),(例9（E06）交换二次积分xxdyyxfdx2),(10的积分次序.解题设二次积分的积分限:,,102xyxx可改写为:,,10yxyy所以yyxxdxyxfdydyyxfdx.),(),(10102例10（E07）证明aaxbyaxbadxxfexadxxfedy0)(0)(0)()()(其中a、b均为常数,且0a.证等式左端二次积分的积分限:yxay0,0可改写为ayxax,0所以dxxfedyayaxb00)()(dxdyxfedyxfedxaaxaxbaaxaxb0)(0)()()(.)()(0)(dxxfexaaaxb例11（E08）交换二次积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的积分次序.解题设二次积分的积分限:xyxxxyx20,2120,102可改写为yxyy211,102所以原式.),(102112dxyxfdyyy例12交换二次积分)0(),(22022adyyxfxaxaxdxa的积分次序.解题设二次积分的积分限:axyxaxax22,202由axy2xay2222xaxy22yaax原式dxyxfdyayaaay02222),(.),(),(202202222dxyxfdydxyxfdyaaayaayaa例13计算积分.2/112/14/12/1//dxeyydydxeydyIxyxy解dxexy不能用初等函数表示,先改变积分次序.题设二次积分的积分限:yxyyyxy,12121,4121可改写为xyxx2,121，所以.2183)(1211212eedxeexdyedxIxxxxy利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算例14（E09）计算,)](1[22Ddxdyyxxfy其中积分区域D由曲线2xy与1y所围成.解令),(),(22yxxyfyxg因为D关于y轴对称,且),,(),(yxgyxg故Ddxdyyxxyf0)(22DxydydxydxdyI1112.54)1(21114dxx例15计算,)1(dxdyxyID其中.44:22yxD解法一先对y积分,积分区域:D,12121122xyxx故dyxydxIxx11121222)1(dxxdxxyxx112121211142122.22411)1(322/32x解法二先对x积分，积分区域:D,4214212222yxyy故.2)1(2242142122dxxydyIyy解法三利用对称性,.DDdxdyxydxdyI因为积分域D关于x轴对称，且函数xyyxf),(关于x是奇函数,所以.0Dxydxdy又Ddxdy.2故.2I例16（E10）计算,22Ddxdyyx其中区域:D.1||||yx解因为D关于x轴和y轴对称，且,),(22yxyxf关于x或关于y为偶函数dxdyyxID12241010224xdyyxdx.451)1(341032dxxx注:若直接在D上求二重积分，则要繁琐很多.例17证明不等式,2)sin(cos122Ddxdyxy其中.10,10:yxD证因为D关于yx对称，所以dxdyydxdyxDD22coscos，故dxdyxxdxdyxyDD)sin(cos)sin(cos2222又由于)4sin(2sincos222xxx及102x而D的面积为1.由二重积分性质,有.2)sin(cos122dxdyxyD课堂练习1.变换下列二次积分的次序：.),(21101xxdyyxfdx2.计算,22Ddyx其中D是由直线xyx,2及双曲线1xy所围成的区域.3.计算二次积分.sin1210xdyydx