§2.8 函数与方程(步步高高三复习)

§2.8函数与方程第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ数学川（理）基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点无交点零点个数(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3.二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)0一分为二零点基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345B基础知识·自主学习A3(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑C基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解(1)函数零点的确定问题；思维启迪解析答案思维升华(2)f(x)＝f(a)的实根个数转化为函数g(x)＝f(x)－f(a)的零点个数．【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解(1)当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0,4]，所以0≤x2≤16.因为5π1611π2，思维启迪解析答案思维升华所以函数y＝cosx2在x2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为6.【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解(2)令g(x)＝f(x)－f(a)，即g(x)＝x2＋2x－a2－2a，思维启迪解析答案思维升华整理得：g(x)＝1ax(x－a)(ax2＋a2x－2)．显然g(a)＝0，令h(x)＝ax2＋a2x－2.∵h(0)＝－20，h(a)＝2(a3－1)0，【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解∴h(x)在区间(－∞，0)和(0，a)各有一个零点．思维启迪解析答案思维升华因此，g(x)有三个零点，即方程f(x)＝f(a)有三个实数解．【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．C3∴h(x)在区间(－∞，0)和(0，a)各有一个零点．因此，g(x)有三个零点，即方程f(x)＝f(a)有三个实数解．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一函数零点的判断和求解函数零点的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法．思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7(2)设函数f(x)＝x2＋2x(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．C3基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析(1)∵f′(x)＝2xln2＋30，题型分类·深度剖析∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－60，f(－1)＝2－1－30，f(0)＝20＝10，f(1)＝2＋3＝50，f(2)＝22＋6＝100，∴f(－1)·f(0)0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．B基础知识题型分类思想方法练出高分(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4个B．4个C．3个D．2个解析(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．题型分类·深度剖析在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：B观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的零点问题【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的零点问题可将问题转化为f(x)＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根，结合二次函数的图象特征转化题中条件．思维启迪解析思维升华【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的零点问题解令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9(a－89)2＋890，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，思维启迪解析思维升华∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的零点问题∴a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.思维启迪解析思维升华【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的零点问题(2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解得x＝－25或x＝3.思维启迪解析思维升华方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a－15或a1.【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二次函数的零点问题解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．思维启迪解析思维升华【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．题型分类·深度剖析解方法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x1－1)(x2－1)0，∴x1x2－(x1＋x2)＋10，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋10，即a2＋a－20，∴－2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1＋(a2－1)＋a－20，∴－2a1.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三函数零点的应用【例3】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解．题型三函数零点的应用思维启迪解析思维升华【例3】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析解方法一(换元法)设t＝2x(t0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则Δ＝a2－4a＋1≥0，t1＋t2＝－a0，t1·t2＝a＋10，解得－1a≤2－22；题型三函数零点的应用思维启迪解析思维升华【例3】若关于x的方程22x