大数定律和中心极限定理

第四章大数定律与中心极限定理大数定律从理论上解决：nnAPA)(xE中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分布为极限分布，即用正态分布作近似计算。用样本均值近似代替理论均值问题：用频率近似代替概率问题：定义4.1若存在常数a，使对任给常数,有01}|{|limaPnn}{n则称随机变量序列依概率收敛于a。)(an切比雪夫(Chebyshev)不等式设的期望E和方差D存在，则对任给常数，有02}|{|DEP或2{||}1DPE当n充分大时，几乎所有的都落在a的邻域内。n)(E只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。证（对连续型）设),(xf~则||)(}|{|ExdxxfEP)1||(Ex21||22)()(ExdxxfExdxxfEx)()(122D21补例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。解设表示同时开着的灯的数量，则)7.0,10000(B~)3.07.0}72006800{(100007199680110000kkkkCP,70007.010000npE21003.07.010000D}200|7000{|}72006800{PP22100120095.0补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计1241()....14PABCD2,2,1,4,0.5,{6}()XYEXEYDXDYPXY例：由切比雪夫不等式，1/12C定理4.1（切比雪夫大数定律）设相互独立，,,21，为常数);,2,1(,2cicDEiiii有则对任何,0111lim11niiniinnnP证niiniiDnnD12111ncncn2112111111ninniiiiiDnPnn前n个随机变量的算术平均由切比雪夫不等式21nc1111推论（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的次数，An),(APp则对任给常数有,01limpnnPAn即事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率近似代替概率的理论依据。证设,0,1发生次试验中，第发生次试验中第AiAii则,1)1(,ppDpEiii,11nnnAnii,11pnnpnnii由定理4.1得证。定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设,,21相互独立且同分布，),,2,1(iEi有则对任何,011lim1niinnP即独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于理论均值。111lim11niiniinnnP由定理4.1§4.2中心极限定理定理4.3（林德伯格－列维Lindberg-Levy定理）设随机变量相互独立且同分布，,,21),,2,1,0(,22iDEii则对任何实数x，有xtniindtexnnP21221lim)(x当n充分大时，,1nii令211,nDDnEEniinii有(0,1)nNn～（近似）)(),(21近似nnNnii~注意：不必知道的确切分布，只要求独立、同分布。i条件还隐含了每个对总和的影响不大。inii1定理的实际意义：…补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过10.05公斤的概率。解设表示第袋味精的重量，ii可以认为是独立同分布的，10021,,,)100,,2,1(4,100iDEii且又设表示100袋味精的重量，1001,ii则10000,E400D，所求概率为：}10050{P}10050{1P10050100001(10050)120F)5.2(100621.0分布未知(10000,400)()N～近似由中心极限定理,若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.:,(1,2...,1500),iii解设表示第次取整误差()0,iE2(0.50.5)1()1212iD15001,,:ii记由独立同分布中心极限定理近似的有11500~(15000,1500)(0,),1212NN:(15)1(15)PP于是例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。设所有的取整误差是相互独立的,且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布.22(1.34)0.18024.[0.5,0.5],:iU则每个～于是0151()1500/121500/12P相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？:,(1,2...,1200),iXii解设表示第个零件重量,1205.195.0)(iXE1200112)95.005.1()(2iXD12001,,:iiXX记由独立同分布中心极限定理近似的有),1,1200()120011200,11200(~NNX:(1202)1(1202)PXPX于是补例：用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量120212001()1(2)10.97720.0228.1(0.95,1.05),:iXU则每个～于是定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）设~(,),Bnp则对任何实数x，有221lim2txnnpPxedtnpq()x)(),(近似npqnpN~连续型离散型npqnpanpqnpbbaP}{当n充分大时,~(,),Bnp下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。求同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。(10000,0.7),B：表示同时开着的灯数，则～解,(7000,2100),N由中心极限定理～{68007200}720070006800700021002100P例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工作，(1):在一段时间内正常工作的概率为0.8。求正常工作的机器超过85台的概率。解设为100台中正常工作的台数，则~B(100,0.8),}.85{P求,16,80DnpqEnp因由定理4.4得}85{1}85{PP)25.1(11056.0)85(1F)48085(1)()16,80(~近似N机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要85台机器正常工作才不影响生产，欲使不影响生产的概率不低于95%，问每台解设为正常工作的台数，则~B(100,p).(100,100).Nppq由中心极限定理，～{85}1{85}PP1(85)F8510010.9510ppq100850.9510ppq即，查表得，100851.650.9.10pppq身高在160cm~180cm之间的概率是多少？补例设某地成年男子身高X~N(170，102)(单位：cm)，随机抽取100名该地男子测量身高。问其中至少有70人解:设身高在160cm～180cm之间用事件A表示,则180170160170()(160180)1010PAPX设Y表示身高在160cm～180cm之间的人数，则7068.26(70)11(0.37)0.3557.21.67PYnp=68.26,npq=21.67.因而近似有Y～N(68.26,21.67),Y～B(100,0.6826),2110.6826注：充分大时，当计算nbaPpnB}{),,(~•可用正态分布近似；•当p很小，np不太大时，可用泊松分布近似。当n充分大时，,1nii令211,nDDnEEniinii有)(),(21近似nnNnii~)(),(近似npqnpN~),,(pnB~P.111),,,2,1(nii解设每辆车装n箱，重量为，第箱的重量为i,1nii则.977.0}5000{1nPnii成立的求使独立同分布，且可以认为n,,,21),,2,1(25,50niDEiinDDnEEniinii25,5011有由中心极限定理，~N(50n,25n){5000}(5000)PF5000505nn977.0查表得2101000nn02500005001252nn解得n98.0199，即最多装98箱。设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,),,(~pnBX则10000,0.017,np其中由德莫佛－拉普拉斯定理知,补例(,)()XNnpnpq近似~某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.}2001000010000{XP}200{XP2001(200)1(1)npFnpp1(2.32)0.01.保险公司亏本的概率12,,,,niXXXX设随机变量相互独立且证),,2,1(,2niXYii记)()(2iiXEYE)(iXD,3122)]([)()(iiiYEYEYD.)]([)(24iiYEXE补例(1,1)(1,2,,),in在区间上服从均匀分布试211,inninZXn证当充分大时随机变量近似服从,.正态分布并指出其分布参数14411()d2iEXxx因为,5123151)(iYD所以,454,,,,21相互独立因为nXXX.,,,21相互独立所以nYYY根据独立同分布的中心极限定理，niniXZn12niiY1,454,3nnN近似服从正态分布.454,31nNZ近似地服从正态分布故例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解设为500件中的一级品数，则~B(500,0.1),50,45,EnpDnpq因由中心极限定理得2(1.49)10.86378~(50,45)()N近似(1)现从中任取500件,分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算:这500件中一级品比例与10%之差的绝对值小于2%的概率;由切比雪夫不等式{0.10.02}{5010}500PP24510.5510{0.10.02}{5010}500PP5010{}3535P(2)解:设至少应取n件,为n件中的一级品数,则~B(n,0.1).(0.1,0.09).Nnn由中心极限定理，～210.9515n