24第四章 两基金分离定理与资本

第四章两基金分离定理与资本资产定价模型本章将介绍投资组合理论和CAPM模型。金融投资金融决策收益与风险的权衡投资组合的选择投资方案由投资者自主选择，但市场的均衡会导致与个体的收益与风险偏好无关的结果。投资组合的选择HarryMarkowitz（1952年）投资组合的选择（portfolioselection）包括如何构筑各种有价证券的头寸来满足投资者的收益与风险的权衡。在金融市场上不存在一种对所有投资者来说都是最佳的投资组合。其原因如下：投资组合的选择投资者的具体情况不同；投资周期的影响；对风险的厌恶程度；投资组合的种类。收益和风险的权衡下面介绍收益与风险的数量化分析方法假设：把股票、债券和衍生证券统称为有风险资产；投资者都是理性的。原理：通过分散化的投资来分散部分风险。下面我们先一般地分析两种资产的组合收益和风险的权衡假定资产1在组合中的权重（按市值计算的比重）为ω，资产2的权重为1-ω，E（r1）、E（r2）；σ12、σ22分别是资产1和资产2的期望收益和收益率的方差。组合的预期收益率和方差分别为E（r）和σ2，则：211rrr收益和风险的权衡数学公式：211rErErE212222122121YXabbaZVarYbEXaEZEbYaXZYX,cov*2222211`*,YXYXCOV收益和风险的权衡情况1对于无风险资产来说：其收益率为rf，方差为0。如果资产2为无风险资产，有：1111)(fffrrErrrErE收益与风险的权衡从公式可以看出，组合的预期收益率为无风险利率加上风险补偿，风险补偿的大小取决于有组合中有风险资产的风险补偿和其在组合中的比重决定。这时，组合的预期收益率与组合的均方差构成函数关系：11ffrrErrEffrrErrE1收益与风险的权衡11ffrrErrEE(r)σ0rf收益与风险的权衡有效组合：在一定的风险水平下，预期收益率最大的投资组合或一定预期收益率的最小方差组合。上面的组合中，由于可以再加入有风险资产进行风险分散化，所以不是有效组合。下面讨论风险的分散化问题。风险的分散化考察两项有风险资产的组合有上面两项资产的方差的表达式和相关系数的性质得：221222111212222122121风险的分散化当时，我们可以适当选择ω使组合得方差为0，事实上只要令就可以解出ω的取值。由于后文中提到的系统风险的存在，的情况除外。这样我们有即两种有风险资产的组合的风险总小于各自风险的简单相加。这就是markowitz的重要贡献所在。1012211211风险的分散化我们可以进一步考察这一组合的最小风险。这时一个求二元函数最小指值的问题，我们有：进一步我们可以由ω的取值计算出对应的组合的最小风险和相应的预期收益率水平。212221222min2多项有风险资产的组合定义符号：E（ri）——表示第i种资产的预期收益率；——第i种和第j种资产的斜方差；当i=j时，表示方差。ωi表示第i种资产在组合中所占的比重。共有n种资产。组合的收益与方差同上。有ijijij多项有风险资产的组合有nnnnnnTnninjijjiniiirErE212212221211221211121多项有风险资产的组合最优投资组合就是在一定的预期收益率的前提下使组合的方差最小，形成如下的二次规划模型：1.min11112niiniiininjijjirErEts多项有风险资产的组合以上二次规划问题的求解过程可看本章后的数学附录。其基本原理是多元函数的拉格朗日乘数法。对于一定水平的组合期望收益率E（r），可解出最小的σ，这样所有的（E（r），σ）构成了标准差——预期收益率图。可以证明这是一条双曲线，我们称其为最小方差曲线。最小方差曲线有效组合边界σminσE（r）最小方差组合投资者的选择σAσminσE（r）最小方差组合A有效组合边界最小方差组合内部的任意一点，都表示n种资产的某个组合，构成了这n种资产的可行集。同时，双曲线是向左凸的，其原因是由于组合可以分散风险。同时n种资产种任意两种资产组成的组合边界也一定落在n种资产的可行集中。有效组合边界：上半个双曲线。双曲线上的每一点都代表一个有效组合。系统风险与非系统风险为了进一步分析，我们假定n种有风险资产在投资组合中的比重相等（1/n），则组合的方差为：ijniinijiijniinijiijniiijninjnnnnnnnnnnnnnn221221222122121221121111111容易看出当n趋向于无穷大时，前一项将趋向于0，而后一项不为0。系统风险与非系统风险由前一项所对应的是由企业的个别风险所决定的，对应为非系统风险，后一项对应系统风险，即整个市场所承受的风险。通过增加组合中的资产种类，可以降低非系统风险，但不能消除系统风险。只有市场所承认的风险（系统风险）才能获得风险补偿。两基金分离定理在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其它的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合生成。两基金分离定理的金融涵义如果有两个不同的共同基金，它们都投资于有风险资产，且经营良好（意味着都在有效组合边界上），投资者只要将自己的资金按一定比例投资于这两家基金，就可以保证该组合一定落在投效组合边界上，获得与共同基金同样好的效果。资本市场线（CapitalMarketline）上面的讨论并没有考虑无风险资产，下面引入无风险资产。CML的方程为：E(rM)σMrfMCML*MfMfrrErrE资本市场线组合中包含有风险资产时，代表有效组合的点必须在CML上。同时CML上任何一点所代表的投资组合，都可以由一定比例的无风险资产和M所代表的有风险资产组合而成。由此我们可以看出，最佳投资方案的设计，与投资者的收益风险偏好无关。市场组合下面我们看M点所代表的组合。市场组合：包含所有市场上存在的资产种类，各种资产所占的比例和每种资产的总市值占市场所有资产总市值的比例相同。有风险资产的市场组合：不包含无风险资产的市场组合。M所代表的组合是有风险资产的市场组合。市场组合任何市场上存在的风险资产必须包含在M中；当市场均衡时，对任何一种资产都不会有过度的供给和过度的需求。指数化投资策略人们开发的各种市场指数可以看作有风险市场组合的替代品。投资于指数和无风险资产的组合可以达到很好的效果。从而形成了被动的指数化的投资策略。资本资产定价模型Capitalassetpricingmode简称CAPM.Marrymarkowizs投资组合模型出现的12年以后，分别由Willian·sharpe、JohnLintner和JanMossin在1965年前后提出。它在投资组合理论的基础上，研究单项有风险资产的定价问题。CAPM的假设条件1、存在许多投资者，市场处于完全竞争状态。2、所有投资者的投资周期相同3、投资者只交易有价证券，以无风险利率借贷无风险，允许卖空。4、市场环境无摩擦5、投资者都是理性的6、一致预期假设CAPM设任何组合的收益率的标准差为σp，则：如果市场上共有n中有风险资产，我们来计算M的方差，首先看第I种资产与所有有风险资产的市场组合的斜方差：2111ninjijjipCAPM我们有：njijjMnjjijMnjjjMiMiiMrrrrrr111,cov,cov,coviMCAPM这里是第i种资产在有风险资产组合中所占的比重。211niiMiMMCAPM由上面的公式可以发现，有风险资产的市场组合的总风险只与各项资产与市场组合的风险有关，与各项资产本身的风险无关。这样σiM越大，该项资产对市场组合的风险的贡献越大，所应得到的风险补偿也越大。下面看它们之间的具体关系。CAPM我们考虑证券I与M的组合（a，1-a），该组合P的收益风险为：分别对参数a求导，得：2/122221211immipmipaaaarEaraErECAPM由此可以计算组合的预期收益率与标准差的导数为：2/122222221212immiimimmmipmipaaaaaaadadrErEdardECAPM当a=0时，上面的组合表示市场组合，这时该斜率为：imimmmiimmimippppaaaaaaarErEdaddardEdrdE22/1121//2222222CAPM由于该斜率等于资本市场线的斜率，有2mimmmimppprErEdrdEmfmmimmmirrErErE2CAPM整理得：该方程所表示的直线就是证券市场线（SML—securitymarketline）其中βi称为资产i的β系数。决定了该项资产的风险水平。fmiffmmimfirrErrrErrE2证券市场线下面我们绘出SML：MSMLE(rm)β1.0rfE(ri)=rf+βi(E(rm)-rf)组合的情况若n项资产构成组合P，各项资产的比重为ωi，则组合的β系数为：组合的收益率为：niiip1fmpfprrErrE证券市场线证券市场线说明，一项有价证券的的市场补偿是它的β系数乘以有风险资产的市场补偿。如果一项资产的β系数1,说明该项资产的价格波动大于市场的平均价格波动，反之则反之。当β小于0时，说明该证券的收益与整个市场存在负相关的关系。证券市场线的移动当证券市场线上下平移时，说明整个市场对待风险的态度未变。当证券市场线旋转时，说明整个市场对待风险的态度变化。当证券市场线斜率为0时，说明投资者对待风险的态度是无所谓的。此时市场处于风险中性状态。这种情况在实际中不会发生，但在理论上很重要。SML的作用SML可以用来评价基金的投资业绩；常常用来确定资本成本的依据。CAPM的缺陷与实证分析的结果产生矛盾；只局限与一阶段的情况；后来人们以RobertMerton为首发展了这一理论，提出了多阶段的资本资产定价模型。如果两基金定理成立，会导致所有资产的换手率都相同的结论。尽管如此，CAPM仍然是投资理论的重要组成部分，对金融资产的定价和研究仍有重要的支持作用。问题问题1：什么是两基金分离定理？对投资者所拥有的风险资产的最优组合，它意味着什么？在资本资产的定价模型的均衡世界里，一种证券有可能不是市场组合的一部分吗？解释之？区别资本市场线和证券市场线？习题1、给定市场组合的期望收益率为12%，无风险利率为6%，市场组合的标准差为20%，画出资本市场线？2、假定有两种证券组成市场组合，它们有如下的期望收益率、标准差和比例：相关系数为0.30，无风险利率为5%，写出资本市场线的方程？证券期望收益率（%）标准差（