高中数学：圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题课前·双基落实知识回扣，小题热身，基稳才能楼高课堂·考点突破练透基点，研通难点，备考不留死角课后·三维演练分层训练，梯度设计，及时查漏补缺返回知识回扣，小题热身，基稳才能楼高课前双基落实返回过基础知识返回1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0消去y，得ax2＋bx＋c＝0.返回(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆锥曲线C；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C；Δ0⇔直线与圆锥曲线C．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是．相交相切相离平行平行或重合返回2．弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.返回过基础小题返回1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.()(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√返回2．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A返回3．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0解析：因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A返回4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C返回5．经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA―→·OB―→等于()A．－3B．－13C．－13或－3D．±13返回解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，43，13，∴OA―→·OB―→＝－13，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA―→·OB―→＝－13.故OA―→·OB―→的值为－13.答案：B返回练透基点，研通难点，备考不留死角课堂考点突破返回有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要涉及两种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题.解答此类问题的一般方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，进而转化为一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系来求解，难度中等.考点一直线与圆锥曲线的位置关系返回[典题领悟]1．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1返回解析：由y＝kx＋2，x2－y2＝6得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1－k2≠0，Δ＝16k2－41－k2×－10＞0，x1＋x2＝4k1－k2＞0，x1x2＝－101－k2＞0，解得－153＜k＜－1，即k的取值范围是－153，－1.答案：D返回2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.返回(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ0，即m－32或m32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．返回[解题师说]1．方法要熟直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数返回2．结论要记(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．返回(3)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．返回3．失误要防(1)要注意二次项系数不能为0，且直线与双曲线右支有两个不同的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，故有x1＋x2＞0，x1x2＞0.(如典题领悟第1题)(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．返回[冲关演练](2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．返回解：(1)如图，由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故直线ON的方程为y＝ptx，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.返回(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．返回考点二与弦长、面积有关的问题在高考中，圆锥曲线的弦长与图形的面积可以单独成题，也可以结合在一起综合考查，联立直线方程与圆锥曲线方程是求解此类问题的第一步，涉及到的题目一般为中高难度的解答题.返回[典题领悟](2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．返回[思维路径](1)写出椭圆的方程，得到点A的坐标，写出直线AM的方程；联立直线与椭圆的方程解出点M的纵坐标，求出△AMN的面积．(2)根据点A的坐标写出直线AM的方程；联立直线与椭圆的方程解出点M的横坐标，进而求出|AM|，并采用同样的方法或整体代换法求出|AN|；由2|AM|＝|AN|得到t与k的关系式，根据t的取值范围解得k的取值范围．返回解：设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t＝4时，E的方程为x24＋y23＝1，A(－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.返回(2)由题意t3，k0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1，得(3＋tk2)·x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2，得x1＝t3－tk23＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t1＋k23＋tk2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt1＋k23k2＋t.返回由2|AM|＝|AN|，得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝32时上式不成立，因此t＝3k2k－1k3－2.t3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝k－2k2＋1k3－20，即k－2k3－20.因此得k－20，k3－20或k－20，k3－20，解得32k2.故k的取值范围是(32，2)．返回[解题师说]求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．返回[冲关演练]已知椭圆x2＋2y2＝m(m0)，以椭圆内一点M(2,1)为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．解：(1)将方程化成椭圆的标准方程x2m＋y2m2＝1(m0)，则a＝m，c＝m－m2＝m2，故e＝ca＝22.返回(2)由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1，代入x2＋2y2＝m(m0)，消去y，得(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(2k－1)2－m＝0(m0)．所以x1＋x2＝4k2k－11＋2k2＝4，即k＝－1，此时，由Δ0，得m6.则直线AB的方程为x＋y－3＝0，直线CD的方程为x－y－1＝0.由x－y－1＝0，x2＋2y2＝m得3y2＋2y＋1－m＝0，y3＋y4＝－23，返回故CD的中点N为23，－13.由弦长公式，可得|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2·12m－63.|CD|＝2|y3－y4|＝2·12m－83|A