复数代数形式的四则运算(上课)

3.2复数代数形式的四则运算我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.即:两个复数相加就是实部与实部,虚部与虚部分别相加.实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立.xOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)12121212OZOZa+bi,c+diOZ=(a,b),OZ=(c,d)OZ=OZ+OZOZ+OZ=(..a+c,b+d)设分别与复数，则由平面向量的坐，应标运对算，得如图所示：12OZOZ(a+c)+(b+d)i.这说明两个向量和的和就是复数对应的向量类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算复数的减法法则就是:实部与实部,虚部与虚部分别相减.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则复数z1－z2对应的向量是什么？|z1－z2|的几何意义是什么？1OZuuur2OZuuur1221OZOZZZ-=uuuruuuruuuur复数z1，z2对应复平面内的点之间的距离.xyOZ1Z2问题探究2、设a，b，r为实常数，且r＞0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么？以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.xyOrZZ0问题探究例1.计算)43()2()65(iii解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)解：原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i=-1+11i1、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限，B.第二象限，C.第三象限，D.第四象限.D练一练2、设O是原点，向量对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是()A.-5+5i，B.-5-5i，C.5+5i，D.5-5i.OA,OBBAD我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么2acadibcibdi)()acbdbcadi（()()abicdi说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.i2易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().12211231231231213zzzzzzzzzzzzzzzzz解:原式=()()iiii2643213=()()ii813=iii28243=i525例2.计算(2)(32)(13)iii例3：计算：实数集中的完全平方公式、平方差公式等在复数集中仍然适用.2222=3-(4i)=9-(-16)=25.(1)(3+4i)(3-4i)2(1+i)=1+2i+i=1+2i-1=2i.()（）平方差公式(完全平方公式)知识要点注意本例(1)3+4i与3-4i两复数的特点.一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z=a+bi的共轭复数记作z,z=a-bi即若Z1,Z2,是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（）（2）Z1Z2是一个怎样的数？()关于实轴对称实数先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式分母实数化dicbiadicbia)()(()()(())abicdicdicdi(0).cdi2222acbdbcadicdcd22)()(dciadbcbdac例4：(1+2i)÷(3-4i)解:ii(12)(34)iii222364834先写成分式形式然后分母实数化结果化简成代数形式ii1234iiii(12)(34)(34)(34)i51025i1255例题分析练习.计算⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii1-i413i-1注:复数的四则混合运算类似于分式的运算，例如进行通分、化简等.【例1】(1)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．2C．1或2D．－1解析：(1)由纯虚数的定义知，解得a＝2.(2)．下列命题正确的是()①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若a＞b，则a＋i＞b＋i；④若z∈C，则z2＞0.A．①②B．①③C．②③D．①②④解析：虚数不能比较大小，故③错误．④错误．4．设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D.12答案A解析方法一：1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.方法二：1＋ai2－i＝ia－i2－i为纯虚数，所以a＝2，故选A.训练3(1)(2014·临沂模拟)设z＝1＋i，则2z＋z2等于()．A．1＋iB．－1＋iC．－iD．－1－i(2)(2013·安徽卷)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z,则z＝()．A．1＋iB．1－IC．－1＋iD．－1－i考点复数代数形式的四则运算解析(1)2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝21－i1＋i1－i＋2i＝21－i2＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，答案(1)A(2)5－5i则z·zi＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，故2＝2a，a2＋b2＝2b解得a＝1，b＝1即z＝1＋i.答案(2)A