电磁学(梁灿彬)第二章 导体周围的静电场

2010级物理学专业ElectromagnetismTeachingmaterials第二章导体周围的静电场电磁学讲义前言（Preface）静电场中的导体(Conductorinelectrostaticfield)封闭导壳内外的场(Fieldofconfiningconductorshell)电容器及其电容(Capacitoranditscapacity)带电体系的静电能(Chargedbodieselectrostaticenergy)前言（Preface)一、本章的基本内容及研究思路本章和下章是前面内容的深入和发展，因为研究对象仍然是相对于观察者静止的电荷分布所产生的场，所以静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。基本内容及研究思路是:首先说明金属导体的电结构特点和导体的静电平衡条件，然后以此为前提，以静电场的普遍规律—高斯定理和环路定理为根据，讨论导体（包括空腔导体和导体组）的静电性质（导体在静电平衡时电荷分布﹑场强分布和电位分布等特点）。教材从导体组静电性质的角度讨论了电容器的构造，电容的定义和计算以及电容器的联接等问题。电容器的主要功能是充放电，其规律在后面讨论。二、本章的基本要求1.了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象，了解静电平衡建立的过程；2.掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电位分布、电荷分布、场强分布等特点；3.理解并初步掌握用电场线的性质讨论导体静电平衡问题的基本方法；4.掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其论证方法，理解静电屏蔽的原理，了解静电屏蔽的应用；5.掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容；6.掌握点电荷组﹑电容器的能量表示式。三、几个术语带电导体：总电量不为零的导体；中性导体：总电量为零的导体；孤立导体：不受其它电荷影响的导体；§1静电场中的导体(conductorinelectrostaticfield)一、静电平衡带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间而改变的状态，称为静电平衡状态。导体的静电平衡的必要条件就是其体内的场强处处为零。反证法可以说明：如果导体内的电场不是处处为零，则在E不为零的地方自由电荷就要受到电场力的作用发生移动，这样就不是静电平衡。这里说的“场强”是所有电荷共同激发的总场强，是一个合贡献。“内部处处场强为零”中的“处处”，也即“点点”，这个点指导体内宏观的点,即物理无限小体元。下面来看导体从非平衡态趋于平衡态的过程：考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导体内部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零，这是个最简单的静电平衡状态。当把一个不带电的导体放在外场中，在导体所占据的那部分空间里本来是有电场存在的，各处的电位不同。0E0E++++++------+--0EE0E+在外场作用下，导体中的自由电荷将发生移动，结果使导体的一边带正电，另一边带负电。这是由于静电感应现象造成的。以上过程只能是暂时的，因为当导体两边积累了正、负电荷之后，它们就产生了一个附加电场，与的迭加结果，使导体内、外的电场都发生重新分布，在导体内部的方向是与外电场的方向相反，当导体两边的正、负电荷积累到一定的程度时，的数值就会大到足以把完全抵消。此时导体内部的总电场处处为零时，自由电荷便不再移动，导体两边正、负电荷不再增加，于是达到了静电平衡状态。0E0EEEE0E0EEEE0E从导体静电平衡条件出发，可导出如下性质：1、导体是个等位体，导体表面是个等位面。证明：由电位差定义式出发，因为导体内，也就是说在导体内任取两点A、B，在静电平衡条件下得到，由此可见导体是个等位体,导体表面是个等位面。ABBAABldEUBABAABUUUUUE即得故00BAUU2、导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。证明：设有一带电导体，在导体内任取一点P，围绕P点作一很小的闭合曲面，运用Gauss定理，P0qSdES00qE故由于另外采用反证法：如果导体内有电荷存在，它将在周围激发电场，有电场线，沿着电场线的方向将有电位降落，这与等位体相矛盾。3、在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。证明：①导体表面带电，场强在带电面上有突变所以一般不谈导体表面的场强而谈导体外紧靠导体表面的各点的场强，即谈“导体表面附近点的场强”；②由于电场线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直；③场强大小与面电荷密度成正比，可由Gauss定理求得：导体表面△S2△S1nˆP在导体外紧靠表面任取一点P，该点的场强，在P点附近的导体表面上取一面元△S1，这面元取得充分小，使得其上的电荷面密度σ可认为是均匀的，以为轴，△S1为底作一Gauss面，使园柱侧面与△S1垂直，园柱的上底通过P，下底在导体内部，两底都与△S1平行，并无限靠近，因此通过Gauss面的电通量为nEEnˆnˆSSdE上底SdE下底SdE侧面SdE上底dSEcos下底dSEcos侧面dSEcos1cos,2,0,SEdSESdEEnS上底因此侧面上下底在导体内在Gauss面内所包围的电荷为，因而得到1Sq0nEnEˆ0即：由此得到结论：导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。说明：a、电荷面密度σ是Δs上面的，而E是所有电荷产生的总场强；b、此式应与无限大带电平面的场强公式区别开来；c、Δs上面的电荷在其极附近处产生的场强为，而其余电荷在同一点产生的场强为，叠加后为；d、场强不受公式形式的影响，但E和σ随时受外界电荷的影响（外界电荷通过影响σ而影响导体界面附近的E）；02020200e、Δs上面的电荷受其余的电荷产生的电场的作用力为则单位面积的电荷受的力（力密度）为ssEF)2/(02002212/Ef二、孤立导体的形状对电荷分布的影响①在一个孤立导体上面电荷密度的大小与表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体，在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密；表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的地方（曲率为负）电荷更疏。如图：+++++++++++++++②对于形状比较复杂的孤立导体，一般来说，面电荷密度与导体表面曲率半径R之间没有的关系，如图：R1+++++++++++++++ABCCBACBA但三点曲率相等..③尖端放电孤立带电导体表面凸出的地方大，附近的场强E大，当达到一定程度时产生尖端放电现象，在尖端附近的强大电场作用下，空气中本来就有的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈运动过程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易于导电。与尖端上电荷异号的离子受到吸引，最后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞离导体，形成“电风”。在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛。避雷针利用了导体尖端放电效应；而高压线表面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电带来有害的后果。三、导体静电平衡时的讨论方法一般来说，讨论导体的静电平衡问题困难校大，因为静电场中的导体，由于静电感应要产生感应电荷，感应电荷也要产生电场，从而使空间的电场发生变化。此外，如果原来的电场是由另外导体上的电荷产生的，那么，由于感应电荷的存在，还将引起原来电荷分布的变化，所以感应电荷的出现与分布在这两个意义上改变了原来空间的电场分布，而电场分布的变化返过来又将引起电荷分布的变化，电场和电荷相互作用﹑相互影响，最后达到两者的平衡分布。困难在于一般情况下难以确定导体上的电荷分布及导体外电场的分布。解决这类问题原则上是可能的，在电动力学中把它归结为：已知导体的形状﹑相对位置及导体所带的电荷或电位，根据静电场方程求解。我们知道，电场线的性质形象地反映了静电场的两个规律，用电场线的性质去定性地讨论一些问题，能够得到一些令人满意的结果。四、静电平衡时的电场分布、电荷分布情况[例1]：如图所示带电系统。A++++B+++---1、电场线能不能由导体B的一端正电荷发出而终止于另一端的负电荷?不能。因为电力线总是从电位高的地方指向电位低的地方，而导体B是一个等位体。2、带正电的导体A接近不带电的导体B，则在B上离A的远端必有电场线发出而终止于无穷远。为什么?B+++---A++++S可以作一个闭合曲面S包围B的右端。因S面内有正电荷，由Gauss定理可知，闭合面上必有正通量，即有电力线穿出，由（1）可知，电场线不能终止于B的左端，也不能终止于A上的正电荷，所以只能终止于无穷远处。3、带正电体A接近不带电的导体B，B的电位将升高。为什么?在A未接近B时，B与无穷远间没有电场线联系，B的电位与无穷远相同。当A接近B时，B的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远，所以B的电位必然高于无穷远的电位。因此B的电位是升高了。与此类似，可证明带负电的物体接近B时，B的电位将降低。4、施感电荷的电量必大于或等于感应电荷的电量。B+++---A++++S1S2B上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上，但这些电场线既不能是由B上右端的正电荷发出，又不能由无穷远发出，否则与（3）结论矛盾。所以电场线只能由A发出。另一方面，A还可以向无穷远发出电场线，从Gauss面S1和S2来看，S1的正通量必大于（或等于）S2的负通量的数值，再由Gauss定理可知，S1所包围正电荷的数值必大于（或等于）S2面所包围负电荷的数值。5、不带电导体B左端接地，B上不存在正电荷B---A++++×××无穷远若将B右端接地，则右端的正电荷就沿接地线流入大地，B上不存在正电荷了（实际上是电荷重新分布达到新的平衡的结果）。若将B的左端接地，同样是正电荷“跑掉”。这是静电平衡导体的基本性质所决定的电荷重新分布的结果。假若B上有正电荷存在，那么B右端一定要发出电场线，但这些电场线一不能终止于B上负电荷，二不能终止于A上正电荷，三不能终止于地（因为B接地后已和地构成一个等位体），电场线既然无处可去，B上就不可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。[例2]中性封闭金属壳内有一个电量为q的正电荷，求壳内，外壁感应电荷的数量。+qSolution:在金属壳内作一Gauss面，且有SqsdE00E导体内所以00内壁而qqqq,qq内壁所以又根据电荷守恒定律，已知壳为中性，现知内壁所带的电荷量为-q，那么外壁必有+q。[例3]如图所示，求感应电荷q’。oRlqSolution:选无限远为电位参考点，通常认为大地与无限远等电位，因此导体球各点的电位为零，球心当然不例外，球心的电位U0是由点电荷q及球面上感应电荷q’共同产生的，前者的贡献为lqU0014后者的贡献为SRdsU0024SdsR041Rq04σ’是感应电荷面密度,是随点而异的球心的电位：02010UUURqlq00440Rlqq所以上述结果说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对值，与前面定性讨论结果一致。当这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。.,qqRl[例4]求无穷大导体板表面各点的感应电荷面密度BAlqrˆnˆSSolution:在导体板面上找一点A，取包含A点的面元在板内靠近A点取一点B（A、B两点靠得很近）。B点的场强可以看作是由如下三部分迭加而成：BE①点电荷q的场)(1BErlqEABˆ420)(1nlqEABnˆcos420)(1②面元上的电荷的场SS)(2BEnEABˆ20