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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.怎么考1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.名称定义向量既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．零向量的向量叫做零向量，其方向是的，零向量记作.单位向量长度等于个单位的向量．大小方向长度模长度为零任意1．向量的有关概念10名称定义平行向量方向相同或的向量，平行向量又叫向量．规定：与任一向量．相等向量长度且方向的向量．相反向量长度且方向的向量.相反非零共线平行相等相等相同相反02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则平法则(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.b＋aa＋(b＋c)三角形平行四边形向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数与向量a的积的运算(1)|λa|＝；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝.λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝.|λ||a|相同(λμ)aλa＋μaλa＋λb0相反3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得.b＝λa1．下列给出的命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量答案：D2．如右图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2答案：C解析：由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2.3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()A．AD＝BCB．AD＝2BCC．AD＝－BCD．AD＝－2BC答案：B解析：AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.4．化简：AB＋DA＋CD＝________.答案：CB解析：AB＋DA＋CD＝AB－AD＋CD＝DB－DC＝CB.5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－13解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，∴λ＝－k，1＝3k，∴k＝13，λ＝－13.共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在也可能有无数个．(2)应用共线向量定理时注意待定系数法和方程思想的运用．(3)利用向量共线证明平面几何中点共线或直线平行时注意强调平面中这些元素的位置关系．[精析考题][例1]给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a||b|，则ab；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[自主解答]①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案]C[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案：D解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.[精析考题][例2](2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BEC．ADD．CF[自主解答]如图，在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝CE，∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF.[答案]D本例条件不变，求AC＋AF.解：AC＋AF＝AC＋CD＝AD.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC|＝2.答案：C3．(2012·义乌调研)若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．答案：C[冲关锦囊]1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．[精析考题][例3](2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[自主解答]∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴k＝λ＝－1.[答案]D[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·青田模拟)对于非零向量a与b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b”¿“a＋2b＝0”，所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：A5．(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD，又∵AB与BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，且BF＝3e1－ke2，∵B、D、F三点共线，∴BF＝λBD.即3e1－ke2＝λe1－4λe2.得λ＝3，－k＝－4λ，解得k＝12.[冲关锦囊]1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错矫正忽略0的特殊性导致的错误[考题范例](2012·临沂模拟)下列命题正确的是()A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[失误展板]错解一：a、b共线，必然是有且只有一个实数λ，使b＝λa，故选A.错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC中，AB、BC、CA围成了一个封闭图形，故AB＋BC＋CA＝0，故选B.错解三：当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB＋BC＋CA＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立．[正确解答]∵向量a与b不共线，∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴λ－1＝01＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不平行，故选D.答案：D点击此图进入