5-平面分析-整体刚度矩阵

2020/2/12平面问题有限元分析-总刚15平面问题有限元分析整体刚度矩阵曹国华5.1整体刚度矩阵5.2整体刚度矩阵的特点5.3边界条件5.4计算结果整理5.5收敛准则前文对单元体进行了分折，得到了单元刚度方程，但要解决问题，还必须进一步建立整个计算模型的整体刚度方程。完成这一步的关键，在于怎样将单元的刚度矩阵和节点荷载列阵，分别“组装”成整体刚度矩阵和整体节点荷载列阵。这里通过研究任意节点的平衡来建立整体刚度矩阵，该方法不但比较直观、易懂，而且对怎样编写计算机程序是很有帮助的。eeeFK2020/2/122平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵整体节点载荷列阵：由各节点所受等效节点力按节点号码以从小到大的顺序排列组成的列阵。等效节点力是由集中力、表面力和体积力共同移置构成的，其中集中力包括直接作用在弹性体上的外力和边界约束力，如支座反力。为了研究整体刚度矩阵的组装过程，先引入两个概念。整体节点位移列阵：由各节点位移按节点号码以从小到大的顺序排列组成的列阵。2020/2/123平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵式中：，TTTTTT12345Tiiiuv(1,2,,5)ioxy①②③④32451不失一般性，仅考虑计算模型中有4个单元，如图所示。四个单元的整体节点位移列阵为2020/2/124平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵对每个单元都可以写出相应的单元刚度方程，即单元节点平衡方程。例如，对①号单元，有eeeFK(1)(1)(1)(1)11112131(1)(1)(1)(1)22122232(1)(1)(1)(1)33132333FKKKFKKKFKKK式中：(1)iF——①号单元中第i（i=1,2,3）节点所受力。为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即(1)(1)(1)(1)11111213(1)(1)(1)(1)22212223(1)(1)(1)(1)(1)3331323345000000000000000000FKKKFKKKKFKKK(1)K——①号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵。oxy①②③④324512020/2/125平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵同理，对于②单元，有(2)(2)(2)(2)111113142(2)(2)(2)(2)(2)33313334(2)(2)(2)(2)444143445000000000000000000FKKKKFKKKFKKK(2)iF(2)K式中：——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；——②号单元的扩大刚度矩阵。oxy①②③④324512020/2/126平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵对于3单元，有1(3)(3)(3)(3)22223252(3)(3)(3)(3)(3)332333534(3)(3)(3)(3)55253555000000000000000000FKKKFKKKKFKKK(3)iF(3)K式中：——3号单元中第i（i=3,4,5）节点所受力；——3号单元的扩大刚度矩阵。oxy①②③④324512020/2/127平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵对于④单元，有12(4)(4)(4)(4)(4)33334353(4)(4)(4)(4)44344454(4)(4)(4)(4)55354555000000000000000000FKKKKFKKKFKKK(4)iF(4)K式中：——④号单元中第i（i=3,4,5）节点所受力；——④号单元的扩大刚度矩阵。oxy①②③④324512020/2/128平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵对于任意一个节点，可能承受两种力的作用，一种是其它单元给予该节点的反作用力；另一种是作用在节点上的等效节点力。对整体而言，前者属于内力，后者属于外力，每个节点在两种力的作用下处于平衡。将各单元刚度方程左边相加，即将各节点所受力相加，由于对于整体而言，单元给予节点的反作用力属于内力，在相加过程中相互抵消，所以各节点所受力相加的结果只有外力，即等效节点力，从而得到整体节点荷载列阵，如下(1)(2)111(3)(1)222(3)(4)(1)(2)33333(4)(2)444(3)(4)55500000000FFFFFFF=FFFFFFFFFFFoxy①②③④324512020/2/129平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵将各单元刚度方程右边相加，从而得到整体刚度矩阵，如下(1)(2)(3)(4)11121314152122232425313233343541424344455152535455(1)(2)(1)(1)(2)(2)111112131314(1)(1)(3)(1)(3)(3)212222232325(1)3100KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK(2)(1)(3)(1)(2)(3)(4)(2)(4)(3)(4)3132323333333334343535(2)(2)(4)(2)(4)(4)414343444445(3)(3)(4)(4)(3)(4)52535354555500KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKoxy①②③④324512020/2/1210平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵通过以上分析得，整体节点载荷与整体节点位移之间的关系式，即结构整体有限元方程，如下FK式中：K——整体刚度矩阵。4()1iiKK2020/2/1211平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：1）将单元刚度矩阵中的每个子块放到在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵。注意对于单元刚度矩阵是按照局部编码排列的，即对应单元刚度矩阵中的i、j、m；对于整体刚度矩阵是按照整体编码排列的，即按节点号码以从小到大的顺序排列。在组装过程中，必须知道单元节点的局部编码与该节点在整体结构中的整体编码之间的关系，才能得到单元刚度矩阵中的每个子块在整体刚度矩阵中的位置。将单元刚度矩阵中的每个子块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。例如在图中，单元②的局部编码为i、j、m，对应整体编码为1、3、4，然后将单元②刚度矩阵中的每个子块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。注意有些书籍中将局部编码表示为1、2、3或1，2，3等；2）将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。2020/2/1212平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则：1）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成；2）当整体刚度矩阵中的子矩阵中r=s时，该节点（节点r或s）被哪几个单元所共有，则就是这几个单元的刚度矩阵中的子矩阵的相加。如应该是单元①－④中对应子矩阵的集成，即rsKrsKersK33K(1)(2)(3)(4)3333333333KKKKKoxy①②③④324512020/2/1213平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵3）当中时，若rs边是组合体的内边，则就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵的相加。如13边为单元①和②的共用边，则rsrsKrsKersK(1)(2)131313K=KK4）当中r和s不同属于任何单元时，则=0。如节点r＝1和s＝5不同属于任何单元，此时=0。rsKrsK15Koxy①②③④324512020/2/1214平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵上述组装基本步骤和规则具有普遍意义对于不同类型、不同形式的单元，只是相应节点的子矩阵的阶数（节点自由度×节点自由度）可能不同，至于组装整体刚度矩阵的规律仍是相同的。正是因为有了这种组装规律，使得有限元法能够很方便地应用电子计算机进行计算。2020/2/1215平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵例：如图所示有限元模型，弹性模量为，厚度为，为简化计算取，求整体刚度矩阵。t0Exy1a23a564①②③④aa2020/2/1216平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵单元编号①②③④整体编码1、2、32、4、55、3、23、5、6局部编码i、j、mi、j、mi、j、mi、j、m以整体编码表示的单元刚度矩阵子块解：该模型中共有6个节点，4个单元，各单元的信息如表所示。各单元信息(1)(1)(1)111213(1)(1)(1)212223(1)(1)(1)313233KKKKKKKKK(2)(2)(2)222425(2)(2)(2)424445(2)(2)(2)525455KKKKKKKKK(3)(3)(3)555352(3)(3)(3)353332(3)(3)(3)252322KKKKKKKKK(4)(4)(4)333536(4)(4)(4)535556(4)(4)(4)636566KKKKKKKKK2020/2/1217平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵xy1a23a564①②③④aa同上例类似的分析，得(2)(2)(2)222425(2)(2)(2)(2)424445(2)(2)(2)5254551011010202001031211213014002020101101EtKKKKKKKKKK根据单元刚度矩阵的性质，可知，若3单元5,3,2，则整体刚度矩阵中的各子块是对所有单元相应的子块求和得到的（实际只是对相关单元求和），其中各子块矩阵均为2行×2列，整体刚度矩阵用子块矩阵可以表示为(2)(1)(4)KK=K(2)(3)KKxy1a23a564①②③④aa2020/2/1218平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566KKKKKKKKKKKKKKKKKKK=KKKKKKKKKKKKKKKKKK上式中任意一子块矩阵均为2行×2列，在计算过程中，无需将每个单元刚度矩阵进行扩大，只需判断整体刚度矩阵子块的下标，然后利用组装整体刚度矩阵的一般规则进行计算，如，由图形可知，节点2由单元①、②和③所共有，则22K(1)(2)(3)22222222KKK+Kxy1a23a564①②③④aa2020/2/1219平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵25K(2)(3)252525KKK，由图形可知，25边为单元②和③的共用边，则15K150K，由图形可知，节点1、5不同属于任何单元，则采用同样的方法进行计算，得到整体刚度矩阵为xy1a23a564①②③④aa2020/2/1220平面问题有限元分析-总刚5.1整体刚度矩阵1011010000000202000000001061411101001