定积分的换元积分法和分部积分法

第6章定积分§6.1定积分概念与性质§6.2微积分基本公式§6.3定积分的换元积分法和分部积分法§6.4定积分的应用§6.5反常积分初步目录上一页目录下一页退出§6.3定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元积分法.上一页目录下一页退出由牛顿－莱布尼茨公式知道，计算定积分()dbafxx的方法是求它的一个原函数.定理1设函数()fx在区间,ab上连续，函数()xt满足条件：(1)当,t（或,）时，(),atb且(),(),ab(2)()t在,(或,)上具有连续导数，则有()d(())()dbafxxfttt（6-4）.上一页目录下一页退出公式(6-4)叫做定积分换元公式．应用换元公式时有两点值得注意：(1)()xtxtxt把变成的换元时候，必须相应的将的积分限变成必换限的积分限.(2)求出(())()ftt()tx后，不用再还原为的表达式的原函数..上一页目录下一页退出的上、下限分别代入()t中，然后相减就行了．例1计算220daaxx0.a解设sinxt,则dcosdxatt,且当0x时，0;t当xa时，.2t于是2222200dcosdaaxxatt22201sin2.224aattt量220(1cos2)d2att..上一页目录下一页退出例2计算402d.21xxx解设21tx,则21,2txddxtt当0x时，1;t当4x时，3.t于是33432101211d(3)d(3)22321xtxtttx127122(9)(3).2333..上一页目录下一页退出例3计算520cossind.xxx解设costx，则dsindtxx；且当0x时，1;t当时，于是2x0.t1615001d.66ttt在例3中，如果不明显地写出新变量t，直接用凑微分法求解，那末定积分的上、下限就不要变更．552200cossindcosd(cos)xxxxx260cos11(0).666x055201cossinddxxxtt练习：P195页：题1（3）（4）2535-4,,dx,42ttxtxdt令则1,3,1,1,xtxt13313111131=1.2222tdtdttt原式342200411=-coscoscos;44d方法一：原式cos,0,1;,0,2ttt方法二：令01333422001011=-coscos-.44dtdttdtt原式..上一页目录下一页退出例4设函数()fx在区间,aa上连续，试证：0()d()()d;aaafxxfxfxx(1)(2)当()fx为奇函数时，()d0;aafxx(3)当()fx为偶函数时，0()d2()d.aaafxxfxx证(1)由于00()d()d()d,aaaafxxfxxfxx在0()dafxx中，设xt，则..上一页目录下一页退出000()d()d()d.aaafxxfttfxx故00()d()d()daaaafxxfxxfxx(2)当()fx是奇函数时，()()0fxfx，因此()d0.aafxx(3)当()fx是偶函数时，()()2()fxfxfx，因此0()d2()d.aaafxxfxx利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算．0()()d.afxfxx..上一页目录下一页退出例5求下列定积分44d.1sinxx解由于被积函数为非奇非偶函数，由例8(1)知4404d11()d1sin1sin1sinxxxxx例6试证：2200sindcosdnnxxxx(为非负整数)．n证设2xt，则ddxt；当0x时，;2t402402secd2tan2xxx.上一页目录下一页退出于是有：2200cosdcosd.nnttxx例7设函数)(xf21,101cose,0xxxxx,求41(2)d.fxx解设2ux，则当1x时，1;u4x时，当2u．于是4211(2)d()dfxxfuu0202sindsin()d()22nnxxtt..上一页目录下一页退出20210ded1cosuuuuu202101tan22uue4111tan.222e练习：P196页.题3（1）（2）题3（1）：答案是0；32.：答案是.上一页目录下一页退出6.3.2定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．设函数(),()uuxvvx在区间,ab上具有连续导数，按不定积分的分部积分法，有()d()()()()d()uxvxuxvxvxux从而得()d()()()()d().bbbaaauxvxuxvxvxux(6-5)这就是定积分的分部积分公式．.上一页目录下一页退出例8计算120arcsind.xx解1201122200arcsindarcsind1xxxxxxx112222011(1)d(1)262xx1202311.12122x例9计算0d.xex解先用换元法．令xt，则2,d2d,xtxtt..上一页目录下一页退出当0x时，0t；当1x时，1;t1t于是00ed2ed.xtxtt再用分部积分法，因为10000dddtttttetteteet因此00d2d2.xtextet101.tee..上一页目录下一页退出例10计算0cosd.xxx解0000cosddsinsinsindxxxxxxxxx00sindcos2.xxx例11计算20sind.nnIxx(为正整数)n解12200sindsindcosnnnIxxxx201220(sincos)cos(1)sincosdnnxxxnxxx..上一页目录下一页退出2220(1)sin(1sin)dnnxxx2(1)(1),nnnInI由此得到递推公式：21nnnIIn而200d,2Ix210sind1.Ixx故当n为偶数时：1331,2422nnnInn..上一页目录下一页退出当n为大于1的正奇数时:1342.253nnnInn由例6知20cosdnxx20sindnxx与有相同的结果.例如:420313sind;42216xx72064216cosd.75335xx234练习：题：（）（）14421111442211ln22ln2lnlnxdxxdxxxxxdx1144221111241124ln4022ln422ln422ln42411128ln24.xdxxdxxx332443344344cotsincotcotcoscotcot3344sinxdxxdxxxxxdxxdxx34343sin334sin3lnsin9436ln.942dxxx定积分积分方法总结(1)()()()bafxdxFbFa基本公式法和凑微分法，，然后应用牛顿-莱布尼茨公式：直接求原函数()(2)()(())()xtbafxdxftdt换第二类换元积分法，记得：换元必限(3)()d()()()()d().bbbaaauxvxuxvxvxux分部积分法，直接代入下边公式：(4)[,],()d0()aaaafxxfx对积分限是对称区间的，如应该首先考虑是否为奇函数，若是，则有：（为奇函数时）作业：习题6-3题1(2)(6),题2（1）（2）题3(3)(4)