1.5定积分的几何意义

定积分的几何意义1、求曲边梯形面积分割-----近似代替-----求和-----取极限2、定积分定义3、定积分几何意义4、定积分计算性质1.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)近似代替:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为(3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxx==D1()niiSfxx=D(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban-=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--2.定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx==-D=n小矩形面积和S=如果当n∞时，S无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dx==ni10limf(xi)Dxi。分割----近似代替-----求和-----取极限1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即说明:定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即baf(x)dx=baf(t)dt=baf(u)du。定积分的定义：1()lim()ninibafxdxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy=()bafxdx=01lim()ninibafnx=-被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分号[a,b]—叫做积分区间3、定积分的几何意义：Oxyaby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当a=b时，有baf(x)dx=0。当f(x)0时，由y=f(x)、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([-==-，dxxfba)(．aby=f(x)y=-f(x)dxxfSba)]([-=baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。=-S的实质（1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，表示由，这也是定积分的几何意义.（2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，表示.xxfbad)(xxfbad)(直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积xxfbad)(由直线x=a，x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数3、定积分的几何意义：根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby=f(x)Oxy1()baSfxdx=()ygx=12()()bbaaSSSfxdxgxdx=-=-定积分的几何意义：定积分关于积分区间具有可加性=bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质34.定积分的基本性质性质1badx)x(kf=badx)x(fk性质2dx)]x(g)x(f[ba=babadx)x(gdx)x(faby=f(x)baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dx=caf(x)dxbcf(x)dx。cOxy=2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f(a＜c＜b)=dxxfba)(.1S-S0)(xf0)(xfS表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积ababxxyy00SS()0yfx=()0yfx=123()bafxdxSSS=-2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图abxyy=f(x)2S1S3S0的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba)(------几何意义0000ayxyxyxyx-12ab-12①②③④f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-120aSxdx=例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积221Sxdx-=1baSdx=022210[(1)1][(1)1]Sxdxxdx-=-----变式:用定积分表示下列阴影部分面积。（1）（2）0122xy=xy11-10yx122=yx=212dxxS--=1121dxxS22sin0xdx-=利用定积分的几何意义说明等式成立。例2.解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf=--=0)(1222=-=-AAdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-10sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx变式:1）2）例3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx-212dxx1）2）104.xdx计的值例算dxx-1021计算积分25.y=x,y=-x+2x例计算由曲线直线和轴围成的平面图形的面积。6.y=x,y=-x+2x例用定积分表示由曲线直线和轴围成的平面图形的面积。50(24)xdx-计算定积分变式1.变式2.变式：求右图阴影部分的面积。0x12xy=yxy=10xdx例4.计算的值解：由定积分几何意义可知112110=xdx10xyy=x21=50(24)xdx-计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx-=-=变式1.变式2.dxx-1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12==-=xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102=-dxx所以例5.分析：如图所示成的平面图形的面积。轴围和直线计算由曲线xxyxy2,2-==-=21102)2(dxxdxxS012yx2-=xy2xy=65112131==变式.求下图阴影部分的面积。解：由定积分几何意义知-=10210dxxxdxS3121-=61=0x12xy=yxy=解如图所示，阴影部分面积6.y=x,y=-x+2x例用定积分表示由曲线直线和轴围成的平面图形的面积。-=2110)2(dxxdxxS012xy=yx2-=xy课后探究：解如图所示，阴影部分面积图形的面积。轴围成的平面和直线计算由曲线xxyxy2,-==-=2110)2(dxxdxxS012xy=xy=yx2-=xy-=1021)2(61dxxxdx6711212161==