《博弈论与信息经济学》纳什均衡

1.占优战略均衡（1）严格占优战略•例：在囚徒困境中，无论张三采取什么行动，李四的“坦白”获得的支付总比“抵赖”获得的支付大，所以，“坦白”是李四的严格占优战略。2020/2/15博弈论与信息经济学1李四/张三张三坦白抵赖李四坦白-3-30-5抵赖-50-1-1**i**ii,,iiiiiiiiiissussusssss如果参与人的战略或行动获得的支付都严格大于其它战略或行动获得的支付，即：，则称为参与人的严格占优战略。（2）严格占优战略均衡•例：在囚徒困境中，李四的严格占优战略是“坦白”，张三的严格占优战略也是“坦白”，所以，李四和张三都会根据理性作出判断，选择严格优势战略——“坦白”作为自己的战略。因此，最终均衡就是（坦白，坦白），这种由严格占优战略得到的均衡就称为严格占优战略均衡。2020/2/15博弈论与信息经济学2李四/张三张三坦白抵赖李四坦白-3-30-5抵赖-50-1-1****1*******1,...,,...,,,,...,,...,iniiiiiiiinssssssussussssssG如果战略组合是由每个参与人的严格占优战略组成，则称为该博弈的严格占优战略均衡。如果不等式成立，则称为的严格占优战略均衡。（3）（弱）占优战略•有很多博弈并没有严格占优战略，而是具有弱占优战略。在下面的牌花博弈中，李四和张三都没有严格优势战略，李四的“♥”与“♦”相比，存在弱优势，即：2020/2/15博弈论与信息经济学3李四/张三张三♠♣李四♥10550♦100011050uuuu李四李四李四李四，，，，*,ˆˆ,,,iiiiiiiiiiiiiiiiiiissussussussussssss如果参与人战略与其它的战略相比，存在：且，则称是的（弱）占优策略，是的（弱）劣策略。（4）（弱）占优战略均衡•在下面的博弈中，李四的“♥”是弱占优战略，所以李四选择“♥”；相对于李四的“♥”，张三的“♠”是占优战略，张三会选择“♠”。最终的均衡是（♥，♠）。2020/2/15博弈论与信息经济学4李四/张三张三♠♣李四♥10550♦10001****111*****1,...,,...,n,...,;,...,i,,,...,,...,innniiiiiiinssssGSSuuussussssssG设为人博弈的一个策略组合，如果，对于参与人，存在，则称为的占优战略均衡。（5）重复剔除占优均衡•例：假设有两个寡头公司垄断某种产品的市场。每个公司都可采取三个价格中的任意一个：高、中、低，如果哪个公司采取较低的价格就可以占有整个市场，如果价格相同就会平分市场。给出博弈的矩阵表达式：2020/2/15博弈论与信息经济学5公司1/公司2公司2高中低公司1高6，60，100，8中10，05，50，8低8，08，04，4在有的博弈中，参与人的战略较多，需要采用重复提出劣策略的办法来找到均衡，这种方法称为重复剔除法。–（a）在对矩阵表达式观察后，会发现无论对于公司1还是公司2，高价战略都是劣战略，因此首先剔除“高”战略。2020/2/15博弈论与信息经济学6公司1/公司2公司2高中低公司1高6，60，100，8中10，05，50，8低8，08，04，4–（b）在第一轮的剔除后，后发现无论对于公司1还是公司2，中价战略都是劣战略，因此再次剔除“中”战略。–（c）最后剩下了唯一的战略均衡对（低，低），就是重复剔除的占优战略解。解的结果或盈利是（4，4）。2020/2/15博弈论与信息经济学7公司1/公司2公司2高中低公司1高6，60，100，8中10，05，50，8低8，08，04，42020/2/15博弈论与信息经济学8,,,.,,.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiissssSsussusssssissssSsussusssussbusa严格劣战略弱劣参与人的战略、,对于任意的其他参与人的战略组合，如果满足：，则称是严格劣于的战略。参与人的战略、,对于任意的其他参与人的战略组合，如果满足：，对于某些特殊的，战有：略*111*,,,;,,,,.iinnnsssnGSSuscusss，则称是弱劣于的战略。对于人博弈的战略组合，如果它是重复剔除劣战略后剩下的的唯一的战略组合，就称为重复剔除占优均衡。如果重复剔除劣战略后剩下的战略组重复剔除占优均衡重复剔除占优可合是唯一的，则称该博弈是的。重复剔除占优均衡要求理性是解参与人的共同知识。例：理性是共同知识2020/2/15博弈论与信息经济学9公司1/公司2公司2LMR公司1U1，01，20，1D0，30，12，0公司1/公司2公司2LM公司1U1，01，2D0，30，1公司1/公司2公司2LM公司1U1，01，2例：不具备重复剔除占优可解性2020/2/15博弈论与信息经济学10公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11R30，120，100，13公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11公司1/公司2公司2C1C2公司1R12，121，10R20，120，10公司1/公司2公司2C1C2C3公司1R12，121，101，12R20，120，100，11R30，120，100，13公司1/公司2公司2C1C3公司1R12，121，12R20，120，11R30，120，13公司1/公司2公司2C1C3公司1R12，121，12R30，120，13（5）重复剔除占优战略可解性•如果局中人的一组战略组合s´是重复剔除劣战略后剩下的唯一的战略组合，这个战略组合称为重复剔除优势战略解。•如果重复剔除劣战略后剩下的战略组合是唯一的，称该博弈是重复剔除战略可解的。2020/2/15博弈论与信息经济学11例.综合例题•两个公司设置市场价格，p是价格，则需求曲线为：Q=D(P)，D(P-1)D(P)。如果公司1是定价较低的公司，那么公司1将满足所有的市场需求；同样也适用于公司2。如果两个公司报价相同，则各得一半的市场份额。假如垄断价格为pm（pm≥2）报价以单位美元递增，没有生产成本。要求：（1）问：高于垄断价格的要价是否都是劣战略；pm-1要价战略是否优于垄断价格战略。（2）证明：该博弈具有占优可解性。2020/2/15博弈论与信息经济学12解：•首先写出博弈的矩阵表达式：2020/2/15博弈论与信息经济学13公司1/公司2公司2pm-1pmPm+1Pm+2公司1pm-1½π(pm-1)½π(pm-1)0π(pm-1)0π(pm-1)0π(pm-1)pmπ(pm-1)0½π(pm)½π(pm)0π(pm)0π(pm)Pm+1π(pm-1)0π(pm)0½π(pm+1)½π(pm+1)0π(pm+1)Pm+2π(pm-1)0π(pm)0π(pm+1)0½π(pm+2)½π(pm+2)①假定有一个高于垄断价格的两个要价为pm+n-1和pm+n，根据博弈的战略表达式可知，公司1和公司2的两个高于垄断价格的盈利向量分别为：2020/2/15博弈论与信息经济学14110,0,0,......,111120,0,0,......,0,mmmmmmmmpnDpnpnDpnpnpnDpnpnnN•是明确的，但是下式是否成立，有待于证明：2020/2/15博弈论与信息经济学1511102mmDpnpn1112mmmmDpnpnDpnpn11211110221112mmmmmmmmmmDpDpDpnDpnppnpnpDpnpnDpnpn•由以上结果可知，高于垄断价格的战略并不是劣战略，只有第n+2个战略是第n+1个战略的劣战略。低于垄断价格的战略不是占优战略。②证明：•在整个博弈矩阵表达式中，假如有n+2个战略，那么，在对比中，会发现第n+2个战略是第n+1个战略的劣战略，即，要价为pm+n的战略是要价为pm+n-1战略的劣战略。根据剔除劣战略的原则，经过逐次剔除，最后剩下价格为pm-1的战略，这对于公司1和公司2来说是唯一的。所以，该博弈存在占优可解性。2020/2/15博弈论与信息经济学162.相对占优战略均衡（1）相对占优战略•在爱情博弈中，既没有严格优势战略也没有（弱）占优战略，只有相对占优战略。例如，当张媛选择“英语”时，李明的占优战略为“英语”，即：对于张媛的“英语”李明的相对占优战略为“英语”。2020/2/15博弈论与信息经济学17李明/张媛张媛英语法语李明英语3211法语00232020/2/15博弈论与信息经济学18*******i,,3=02=1iiiiiiiiiiiussusssssisisuuuu李明李明李明李明如果，对于参与人，存在，则称是参与人相对于相对占优战略，也称为参与人对于的最优反应。例如在爱情博弈中：英语，英语法语，英语法语，法语英语，法语李明/张媛张媛英语法语李明英语3211法语0023（2）相对占优战略均衡•在爱情博弈中，对于张媛的“英语”李明的相对占优战略为“英语”，对于张媛的“法语”李明的相对占优战略为“法语”；对于李明的“英语”张媛的相对占优战略为“英语”，对于李明的“法语”张媛的相对占优战略为“法语”。该博弈的均衡就为（英语，英语），（法语，法语），这称为相对占优战略均衡。2020/2/15博弈论与信息经济学19李明/张媛张媛英语法语李明英语3211法语00233.纳什均衡（1）最优反应•例：2020/2/15博弈论与信息经济学20公司1/公司2公司2LCR公司1U0，44，05，3M4，00，45，3D3，53，56，6*********,,iiiiiiiiiiiiiissussussssbss如果参与人的战略与其他参与人的战略组合满足：，则称是关于的最优反应。称为最优反应函数，简称反应函数。2020/2/15博弈论与信息经济学211121212122LM,bLMbLMbULbCUbMCbRDbDRbRDDRbDR公司选择“”时，公司1的最优反应是选择“”，记作：。按照这样的方法，会有：双方都满意的均衡为。（2）纳什均衡（3）纳什均衡举例•例1.古诺寡头竞争模型–1.寡头竞争解2020/2/15博弈论与信息经济学22111,...,;,...,,...,,...,,,1,...,nniniiiiiiiiiGSSuussssbssussussins在博弈中，如果战略组合中的任一战略，都符合，即：，，则称是该博弈的纳什均衡。1212,1QpCcQpQabpabQQQQpabQQ需求函数：，成本函数：，价格函数是需求函数的逆函数：，令：，则上式简化为：。当市场上存在两家厂商时：，因此，价格函数就变化为：。2020/2/15博弈论与信息经济学2321211112111122122121max0122;0;QpabQQpQcQabQQcQQacbQbQacbQQacb