第二章：线性空间

数学物理方法概论之——（线性空间）主讲教师：白璐联系电话：[phone]Email:[e-mail]第二章线性空间线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本质联系。1、线性空间；2、线性变换；3、线性变换的本征值与本征向量；4、内积空间；5、正交化法；6、自伴算子；7、等距变换；8、正规变换的本征值与本征向量；9、平方可积函数空间；10、完备正交归一函数集；11、多项式逼近12、完备正交归一集的例子；13、正交多项式第二章线性空间§2线性空间§2.1线性空间一、群设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意,aGbGabG有这种运算称为封闭运算。,G定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为它满足以下三个公理：（1）运算满足结合律：()()abcabc（2）存在单位元素e，有（3）对任意的存在逆元素满足aG11aaaae注意：当群满足运算的交换率：abba则称为Abel群或交换群。eaaea1a§2线性空间§2.1线性空间例：（1）整数的集合，以普通的加法做运算，构成Abel群。此时0是单位元素，n和－n互为逆元素。（2）二维旋转矩阵cossin(),([,])sincosr相对矩阵乘法也是一个Abel群。(0)r是单位元。()r和()r互为逆元素。例：以上是满足交换律的即Abel群，有没有不满足交换律的例子？三维旋转的集合是一个不可对易的连续群先绕z轴转动90度，再绕y轴转动90度先绕y轴转动90度，再绕z轴转动90度一样？§2线性空间§2.1线性空间例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。以n=3为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为123123123=I=F=D123312231123123123=A=C=B213132321定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换，运算由右至左连续施行两次。§2线性空间§2.1线性空间二、域域是满足以下三条公理的系统，记为,,F（1）系统是一个具有单位元素0的Abel群；（2）设是除以外的所有的集合，则系统是一个具有单位元素e的Abel群；（3）相对于＋，满足分配率，即,FF0xxF,F()abcabac§2线性空间§2.1线性空间例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘法都构成了域。有了域的概念我们可以定义线性空间（1）在非空集合V内的任一对元素间定义运算（＋），使构成Abel群。(单位元素用0表示，x的逆元素用－x表示),V()()00()()0xyzxyzxxxxxxxxyyx结合律交换律零元素负元素满足：三、线性空间§2线性空间§2.1线性空间1()()()()xxxxxxxxyxy则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。（以上8个公式为线性空间的8个公理）（2）在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运算，对F中任意数与V中任一元素,都可由该运算唯一决定V中的一个元素y,记为,数乘满足：yxx左分配律右分配律结合律数1的数乘§2线性空间§2.1线性空间例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数为元素构成的集合，其中，定义向量加法12(,,,)niF1122(,,)nnxy12(,,,)nx其中：12,(,,,)ny向量数乘：12(,,,)nx零向量：0(0,0,,0)的逆元：x12(,,,)nx可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为nR例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。§2线性空间§2.1线性空间11101101[]...|,,...,,,0}000...00[][].nnnnnnnnnnnnnQxpaxaxaxaaaaaRapxxxQxQxQ次多项式的全体且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间。对多项式的加法与数乘运算例不封闭。§2线性空间§2.1线性空间.,.mnmnmnmnmnmnmnmnRABCADRQ例实数域上的全体矩阵，对于矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作是一个线性空间§2线性空间§2.1线性空间对于线性空间有以下定理存在：定理1：（1）当y和z已知时，方程有唯一解x（2）如果，则（3）对每一个（4）对每一个（5）如果，则或定理2：若把定义为x和y之差，则有()VFxyz0zz0z,00F,00xVx0x00x()xyxy(1)()()()(2)()(3)()xxxxyxyxxx§2线性空间§2.1线性空间设V是F上的线性空间，如果（即是V中的某些向量的集合），且满足：（1）对任意的（2）对任意的则称是V的线性子空间。定理：在V(F)中任取一组向量，这组向量的所有线性组合的集合是V的一个子空间。并称这个子空间是由向量集合所张成（生成）的子空间。,,()xyVxyV,,FxVxV则VV12,,,rxxx12,,,rxxx1:riiiixFVV四、线性子空间§2线性空间§2.1线性空间231211110(1),,000(2)00,,(1)100200,000000RbWbcdRcdababcWcabcR的下列子集是否构成子空间？为什么？不构成子空间。因为对有对矩阵的加法闭解。：不封例.§2线性空间§2.1线性空间222112212111222121212(2)0000000000000,0000QABABAB构成子空间，非空，对于，，设且有于是§2线性空间§2.1线性空间11122212121221111111112220,00000()0abcabcaabbccWkRkakbkkckakbkckabckABAA又，另一方面，对于，故又有即：对矩阵的加法与数乘是封闭的，是子空间。五、线性空间的基与维数基：指线性空间V中的最大线性无关的子集。V中的任一向量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。例：实三维空间中的三个向量组成一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)eee因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成这三个向量的线性组合31iiixxe§2线性空间§2.1线性空间§2线性空间§2.1线性空间解：在中设有阶矩阵，其中位于的元素为1，其他元素为0。如，容易证明是的一组基，且线性无关，任何矩阵均可由它们线性表示。所以又由于，所以A在该基下的坐标为：2323RijE(,)ij12010000E111213212223,,,,,EEEEEE23R23AR23dim6R1112132122232603AEEEEEE(2,6,1,0,1,3)T例：写出实数域R上矩阵空间的一组基，求，并求在此基下的坐标。2610-13A23R23dimR六、线性空间的同构（A）映射的定义：设S1和S2是两个非空集合，如果按照一定的法则f，对于S1中的每个元素x，都存在S2中的一个确定的元素y与之对应，则称f为定义在S1上取值于S2中的一个映射，记为，y称为x在映射f下的像。()yfxS1：§2线性空间§2.1线性空间fS2xy集S1称为映射f的定义域集S2称为映射f的值域映射的种类：满射、单射、双射（B）线性空间的同构设S=｛E,*｝和S′=｛E′,·｝是分别具有封闭运算*和·的代数系统，假设f是一个从E到E′的双射，即一一映射，它给每个属于E的元a，b，c，…∈E，都有指定的属于E′的元，f（a），f（b），f（c），…∈E′，与之对应§2线性空间§2.1线性空间E：fE′f(a)设a*b=c，则cf（c）=f（a*b）同构即要求af(b)bf若a*b=c则f（a）·f（b）=f（c）线性空间同构的判定方法：设U和V是同一数域F上的两个线性空间，f是从U到V的一个映射，如果:（1）f是一个双射；（2）f是一个线性映射，即则称f是U到V的同构映射，并说U与V同构。定理：域F上每一个n维线性空间都和空间同构。1212()()()fxxfxfxnF（即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。）§2线性空间§2.1线性空间§2线性空间§2.1线性空间同构的意义：在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即x*y=zf（x）·f（y）=f（z）§2线性空间§2.1线性空间例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨论的三元素置换群与下述6个2X2矩阵相对矩阵乘法构成的群是同构的。33112222331122221001IFD33112222331122221001ACB例如AXB=F，123123=213321AB从右向左：把1换为3，再把3换为3，133,221312，所以对应刚好是置换F。123312§2线性空间§2.1线性空间33112222331122221001而A′XB′=F′，刚好是置换F′。一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个系统便是同构的，或结构等同的。定义：指在线性空间V(F)中变换A,对每一个有确定的向量，且对任意的有则称A为线性变换也称线性算子。式中a，b为标量,xyV,AxVAyV,abF()AaxbyaAxbAy§2线性空间§2.2线性变换一、线性变换的定义线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。00,xIxx即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变换是把任意向量变换成自身的线性变换。§2.2线性变换证明：122122122122ˆˆ()(())ˆˆˆˆ()()()()AkkkkkkkAkA1100100001rrrrrrrrrrrrrr满足线性变换定义，得证。§2线性空间例：设是空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量，若变换的定义为则是一个线性变换。ˆ0r3Rrˆˆ()()A00rrrrAAcossinsincos,.cossincossincossinsincossincoscoscossinsincoxxTyyxOyTTxryrxxxyTyyxyrrr由关系式确定了平面上的一个变换说明的几何意义记