当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 咨询培训 > 【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 第82讲 参数方程及其应用课件 理
1.()2.xsincosysin参数方程为参数化为普通方程是 210(22)xyx3 13(2.)()22.xcosaysina若曲线为参数经过点,,则13122223.coscosaasinsina由,得,平方相加可解解得析:相交234390()..2xcosxyysin直线:与圆:为参数的位置关系是 220,02|9|234d因为圆心,半径为,故圆心到直线的距离,所以直线与解析:圆相交.(04)0,4,,3.54.xcosysin椭圆的两个焦点坐标是 223355+1.925(04)0,4xcosxcosysinysinxy由,得,所以可得其焦点的坐标为,,解析:.230215.2()2.xttyxBytCBC直线为参数与抛物线交于、两点,则线段的长等于 222121212221515()245100||44540230.xytyxBC将直线方程化为标准式得,为参数,代入,得,所以解析:【例1】在曲线C1:(θ为参数)上求一点,使它到直线l:(t为参数)的距离最小,并求出该点的坐标和最小距离.1cossinxy1222112xtyt参数方程与普通方程互化【解析】直线l的直角坐标方程为x+y+-1=0.设P(1+cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),则221cossin2212sin()242sin()4d所以,当时,即θ=时,dmin=1,此时P.3425422(1,)22曲线C1的直角坐标方程为圆:(x-1)2+y2=1,利用圆的参数方程可以使圆上的坐标变得简单.本题也可以利用圆的几何性质求解.22 () 11.3xOyPxyxySxy在平面直角坐标系中,点,是【椭圆变式练习】上的一个动点,求的最大值【解析】因椭圆+y2=1的参数方程为(φ为参数),故可设动点P的坐标为(3cosφ,sinφ),其中0≤φ2π.因此,.所以,当φ=时,S取最大值2.23x3cossinxy313cossin2(cossin)222sin()3Sxy6直线参数方程标准式的应用【例2】已知直线l过点P(1,5),且倾斜角为,求:(1)直线l的参数方程;(2)若直线l与直线l′:x+y-1=0相交,求交点到定点P(1,5)的距离;(3)若直线l与圆x2+y2=16交于A、B两点,求A、B两点到定点P的距离之和及|AB|.3【解析】(1)(t为参数)(*);(2)将(*)式代入直线l′:x+y-1=0中,得,解得t=.所以交点到定点P的距离为.112352xtyt13151022tt535535t2222223*1613(1)(5)16,222531100. 53110,||531, ()436103. 53136103ABABABABABABABxyttttttttttttttttttABPAB将式代入中,得整理得由韦达定理可得(),所以所以、两点到定点的距离之和为,本题(2)求直线l与直线l′的交点到定点P的距离,可根据参数t的几何意义,即只要求出交点对应的参数t的绝对值;(3)要求A、B两点到定点P的距离之和,由参数的几何意义,即只要求|tA|+|tB|,求|AB|即求出|tA-tB|,这要利用韦达定理和直线的参数方程中t的几何意义.因此,韦达定理是解决直线和二次曲线问题常用的方法.【变式练习2】设直线(t为参数)与抛物线y2=4x交于两个不同点P、Q,已知点A(2,4),求:(1)AP+AQ的值;(2)线段PQ的长度.24xtyt2212122212121212121212222()2424122160.12216()()4224.10||122.2||224414.xtyyxAPAQPQAPAQ直线方程可化为,将之代入整理得所以,,所以,解析:因为所以参数方程与极坐标方程的综合应用2sin325()41235CxtltytClxMNCMN已知曲线的极坐标方程是=,直线的参数方程是为参数.将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;设直线与轴的交点是,是曲线上一动【例点,求的】最大值.22222212sin.cossin20.24(2)3022,00,115.5151.CxyxyCxyylyxyxMCCrMCMNMCrMN曲线的极坐标方程可化为又,,,所以曲线的直角坐标方程为将直线的参数方程化为直角坐标方程,得.令,得=,即点的坐标为.又曲线为圆,圆的圆心坐标为,半径=,则所以+,即的最大【值为】+解析解决参数方程与极坐标方程的通解通法是将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,也即由陌生向熟悉转化,进而在熟悉的环境中解决问题.sin()441()31535CxlxttlCyt在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为为参数,求直线被曲线所截【变式练习】得的弦长.22241522sin(),(3415)220,3410.(1,1)22462().55xttytxyxyxyCCCl将方程=为参数分别化为普通方程由曲线的圆心为-,半径为,所以圆心到直线的距离为,故所求弦长为【解析】1.113(0)xttCyttttC已知曲线的参数方程为,为参数,.求曲线的普通方程.22212123360.xttyxttCxy因为,所以,故曲线的普通方程为:解析:212()13)3.2(xttytxcosysin求直线为参数,被圆为参数,截得的弦长.2222122.1239.3222229-227.12327.123xtxyytxcosxyysinOdLRdxtxcosytysin把直线方程化为普通方程为将圆化为普通方程为圆心到直线的距离,所以弦长以直线被圆,截得的弦长为解析:132()3724()43.xtltytxcosCqysin已知直线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数.222222212121241621.416216.1322()3721683360244.xcosxcosysinysinxyxttytxyttABABtttttt由,得故圆的方程为方法一:把为参数代入解方程,得,所以为:线析段的长2222132()372340.10,04|4|2312216-443.xttytlxyRldABRd方法二:由为参数,得的普通方程为由知:圆心的坐标为,圆的半径,所以圆心到直线的距离,所以4.已知过点P0(-1,2)的直线l的参数方程是(t为参数),求点P0到直线l与另一直线2x-y+1=0的交点P的距离.1324xtyt【解析】因为,所以此直线的参数方程不是标准式.令t′=-5t,将直线的参数方程化为标准式得(t′为参数),将其代入方程2x-y+1=0,得,223(4)5131'542'5xtyt342(1')(2')1055tt故得交点P对应的参数,所以.3'2pt03'2pPPt5.已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.422xtyt2214xy【解析】直线l的参数方程为(t为参数),故直线l的普通方程为x+2y=0.因为P为椭圆上任意一点,故可设P(2cosθ,sinθ),其中θ∈R.422xtyt2214xy因此,点P到直线l的距离是.所以,当θ=,k∈Z时,d取得最大值.222cos2sin1222sin()45d4k21051.选取参数时的一般原则是:(1)x,y与参数的关系较明显,并能列出关系式;(2)当参数取一值时,可唯一地确定x、y的值;(3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋转角作为参数.此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步:(1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点P(x,y);(2)选取适当的参数;(3)找出x、y与参数的关系,列出关系式;(4)证明(常常省略).12121212120121212012123.1,||;2,0;312 .2.1MptMMlMMtttMMttMMMttMMttMMMtPttMMt根据直线的参数方程中的几何意义,有如下常用结论:若、为上任意两点,、对应的值分别为、则若为线段的中点则有若线段的中点为,则一般地,若点分线段所成的比为,则4.直线的参数方程的一般式(t为参数)是过点M0(x0,y0)斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b≥0时,才是标准方程,t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程化为标准程00xxatyybtab00xxatyybt是(t′∈R),式中“±”号,当a,b同号时取正;当a,b异号时取负.222200axxabbyyab5.参数方程与普通方程互化时,要注意:(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小;(3)把普通方程化为参数方程时,由于选择的参数不同而不同,而参数的选择又是由具体的问题来决定的.
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