第一章 行列式

新教材编写组21.课程特点1）是非数学专业必修的一门重要基础课,考研数学占22%；2）概念多、术语符号多、运算多、结论定理多；3）较强的逻辑性、抽象性；4）课时少。2.研究线代的目的讨论向量空间3.主要内容3线性代数知识提纲行列式矩阵向量组线性方程组矩阵对角化二次型4第一章行列式目的：求解个方程、个未知数构成的线性方程组方法：克莱默法则重点和难点：行列式的计算行列式的性质行列式的展开（难点）重点nn5第一章行列式1.行列式的定义2.行列式的性质3.行列式按行（列）展开4.克莱默法则6§1行列式的定义一.二阶与三阶行列式引例用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa（1）利用消元法，可以得到：,021122211时当aaaa211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaabaabx解线性方程组有1.来源：7再令2221121121122211aaaaaaaa.,221111211211222121212221babaabbaababbaab.,2211DDxDDx如果我们记:2211112222121122211211,,babaDababDaaaaD.,222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx则有则8121221,352.xxxx解：由于125610,35D112541,25D211231,32D例1求解二元线性方程组可见，引入二阶行列式，解此方程组就很方便。1212111,1.11DDxxDD则9同样，我们计算含有三个未知量三个方程的线性方程组：333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa可得：312123,,0DDDxxxDDDD其中：332313322212312111aaaaaaaaaD3323133222123211aaaaaabbbD3323133213121112aaabbbaaaD3213222123121113bbbaaaaaaD102.二阶与三阶行列式的表示：332313322212312111aaaaaaaaa4个数字排成两行两列的数表，两边加竖线1）二阶行列式：22211211aaaa9个数字排成三行三列的数表，两边加竖线2）三阶行列式：ija称行列式的元素:i——行标，j——列标113.二阶与三阶行列式的计算：对角线法则1）二阶行列式：2112221122211211aaaaaaaa2）三阶行列式：对角线法则332313322212312111aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa12159(2)(6)7(4)(8)31(6)(8)(2)(4)935745849648721050.D例2计算行列式123456.789D解：13b.每一项均为取自不同行不同列的三个元素的乘积；三阶行列式表达式的特点:c.在六项当中，三项取正号，三项取负号；a.三阶行列式等于3！=6项的代数和；那么，现在的问题是：正、负号是由什么确定的？怎么确定？321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa我们可以将三阶行列式表示为：14二.逆序数与对换2.标准排列:1,2,3…n的排列方式共种.1.排列:由1,2,3…n共n个数组成一个有序数组，称为一个n阶排列3.逆序：在n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.如:132有一个逆序.4.逆序数:元素的逆序数:比大且排在前面的数的个数ipip排列的逆序数:排列中所有元素的逆序数的总和这些所有的排列中只有1,2,3…n是按由小到大的自然顺序组成的排列，称为标准排列.!n计算逆序数的方法:逐个元素分析，各元素逆序数之和15例3计算排列34152和146325的逆序数5.奇排列与偶排列:逆序数为奇数的排列叫做奇排列;逆序数为偶数的排列叫做偶排列.有了这几个概念，我们再来分析三阶行列式各项的符号的确定。146325的逆序数=0+0+0+2+3+1=6，故34152为奇排列,146235为偶排列.解:34152的逆序数=2+2+0+1+0=5，6.对换:将一个排列中某两个数位置互换，其余数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换。定理：任意排列经过一次对换后必改变奇偶性。16可以得到列标排列的逆序数:322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa关于三阶行列式由此可以得出结论：列标排列为偶排列的项取正号；列标排列为奇排列的项取负号。其列标的六个排列为：123，231，312，132，213，321因此我们可以将三阶行列式表示如下：(123)0,(231)2,(312)2,(132)1,(213)1,(321)3,17321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa其中为排列p1p2p3的逆序数。三阶行列式：由此我们不难给出n阶行列式的定义123()tppp181.定义设有个数，排成n行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaa212221212111作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如nnppptaaa2121)1(的项，其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列，为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n!个，因而形如(1)式的项共有n!项.2n（1）nnppptaaa2121)1(所有这n!项的代数和称为n阶行列式，记作三.n阶行列式的定义12()ntppp19nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211简记作detnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnppptaaa2121)1(（aij）即：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa2121)1(20例4试确定六阶行列式中以下两项的符号：645546322113655642142331,aaaaaaaaaaaa例题:例5试确定四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。3411aa注：1）二阶、三阶行列式适用本定义；2）对角线法则对三阶以上行列式不适用；3）一阶行列式1111aa4）利用本定义可确定行列式计算中某项的符号。212）次对角线行列式;2121nn.)1(212)1(21nnnn2.特殊行列式：1）主对角线行列式：22.0221121222111nnnnnnaaaaaaaaaD3）上（下）三角形行列式：对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式.提示：记住以上结论。.000221122211211nnnnnnaaaaaaaaaD233.行列式按列定义：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nqqqsnaaa2121)1(24利用行列式的定义计算任意一个n阶行列式的值nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnppptaaa2121)1(一共有n!项的代数和，计算量会太大，如果不是特殊行列式，难以很快求出其值，因此应该在定义的基础之上寻找更为简单的计算方法，为此我们介绍行列式的性质。25§2行列式的性质的称为行列式行列式DDaaaaaaaaaDaaaaaaaaaDTnnnnnnTnnnnnn,,212221212111212222111211记例如：333222111D321321321TD的转置行列式为转置行列式．一.行列式的性质26.)1()1(),,,2,1,(21212121nppptnppptTjiijnnaaabbbDnjiab按定义即..,)1(,22121证毕故行列式还可以表示为而由定理DDaaaDTnppptn性质１行列式与它的转置行列式相等．,)det(212222111211nnnnnnTijbbbbbbbbbDaD的转置行列式证：记注：行列式的行与列具有同等地位．27性质２互换行列式的两行（列），行列式变号．证：设行列式nijnjinpjpipptnpipjpptaaaaaaaaD11111)1()1(nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaD212121112111则28111111111,().(),(1)(1),(1),.jinijnjintttpipjpnpijntpppptppppDaaaaD其中为自然排列逆序数设则故证毕推论:如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为０．证把这两行互换，有，故．规定：表示行列式的第行,表示行列式的第列表示交换第列表示交换第行irijrr,ijijcc,ijijjcDD0D29.记作,乘以行第ki性质３：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式．nnnnnnaaakakakaaaaD212222111211nnppptakaa)()1(2121nnppptaaak2121)1(nnnnnnaaaaaaaaak212222111211.记作,乘以列第ki证明：.kri.kci30krkii记作提出公因子行第,推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．kckii记作提出公因子列第,例如：10342221101032112112)2(2r31性质４：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为０．nnnnnnaaakakakaaaaD2111211112110211121111211nnnnnnaaaaaaaaak证明：32,'''2122222211111211nnnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaaaaaD则Ｄ等于下列两个行列式之和：.'''2122222111121121222221111211nnnjnnnjnjnnnjnnnjnjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD性质５：分行（列）相加性；33性质６：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．jikrri记作,行上行加到第j乘第k以数有记作列上列加到第乘第以数),(jikccijk例如:.)(,)()()(122222111111112222111111jiaakaaaaakaaaaakaaakccaaaaaaaaaaaannnjnjninnjjinjjijinnnjninnjinji34行列式的六条性质性质１行列式与它的转置行列式相等．性质２互换行列式的两行（列），行列式变号．推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为０．性质３行列式的某一行（列