小波分析及其应用wavelet introduction

1小波分析及其应用WaveletAnalysisandIt’sApplications同济大学计算机系宣国荣2003年6月10日研究生讲座（2009年11月10日补充附录4）2研究生讲座：小波分析及其应用1、小波的特点和发展2、小波分析在一维信号处理中的应用3、小波分析在图象分析中的应用图象特征抽取图象压缩数据隐藏和图象水印31、小波的特点和发展“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。4小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。•时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。•频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。时间A时间B5小波的成就小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。6多分辨度分析（MRA）•1988年Mallat提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。•当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：78参考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.119小波的3个特点•小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）•小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）•小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：10小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基11Haar小波基母函数（a）Haar“近似”基函数（b）Haar“细节”基函数低频滤波系数高频滤波系数H0=[11]×qH1=[1-1]×q=[qq]=[q-q]其中：7071.02q12Haar小波的基函数第1行基函数是取平均（近似），第2-8行基函数是取变化（细节）。细节包括变化速率和发生的时间。尺度函数近似基函数小波函数细节基函数13小波分析发展历史1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文1910年Haar提出最简单的小波1980年Morlet首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。14小波基可以通过给定滤波系数生成•小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定滤波系数生成。•有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。•小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是I.Daubechies等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。15小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)“近似”基函数“反变换”低频和高频“滤波系数”“细节”基函数Haar小波“正变换”低频和高频“滤波系数”16小波基函数和滤波系数(db2--正交，不对称)“近似”基函数“细节”基函数db小波“反变换”低频和高频“滤波系数”“正变换”低频和高频“滤波系数”17小波基函数和滤波系数(db4--正交，不对称)18小波基函数和滤波系数(sym4--正交，近似对称)19小波基函数和滤波系数(bior2.4–双正交，对称)20小波基函数和滤波系数(bior6.8–双正交，对称)212、小波分析在一维信号处理中的应用小波变换就是将“原始信号s”变换成“小波系数w”，w=[wa,wd]包括近似(approximation)系数wa与细节(detail)系数wd近似系数wa---平均成分（低频）细节系数wd---变化成分（高频）22小波原始信号分解过程：原始信号s可分解成小波近似a与小波细节d之和。s=a+d小波系数w=[wa,wd]的分量，乘以基函数，形成小波分解：小波近似系数wa×基函数A=近似分解a---平均小波细节系数wd×基函数D=细节分解d---变化23小波分解和小波基小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号例如：小波分解a=小波系数wa×小波基A24离散小波变换公式正变换反变换其中：是小波基函数参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年（R.C.Gonzalaz,”DigitalImageProcessing”，p.375)•信号s有M个样本，J级小波变换：nDnAnDwnAwndnansJjnDnswnAns],,,[.,,1111小波分解小波系数25一维信号小波变换例子Haar小波，例子：16点信号:[6598378565981339]通过MATLAB实现(wavemenu)波形图小波正变换：小波系数：小波近似系数（加）；小波细节系数（减）小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号。有2种：近似分解；细节分解26一维信号的二级小波变换系数原始信号2级小波系数w2=[wa2,wd2,wd1]*Haar是正交变换。除以常数，目的使变换后平方和不变。例如：20621212622889562222222216位2级近似系数2级细节系数1级细节系数16位27一维信号的二级小波变换分解2级近似分解（原始信号每4个平均值）2级细节分解（原始信号每2个平均的差值）1级细节分解（原始信号单数和双数的差值）恢复信号28一维信号的二级小波变换系数和分解原始信号2级小波系数w2=[wa2,wd2,wd1]2级近似分解（原始信号每4个平均值）2级细节分解（原始信号每2个平均的差值）1级细节分解（原始信号单数和双数的差值）恢复信号29■原始信号s=[6598378565981339]■小波系数（近似）wa2=[28232816]/2按照原始信号分辨率扩展，a2=wa2’×A2s每四个平均值a2=[28282828232323232828282816161616]/4wa2’=[28282828232323232828282816161616]/2扩展基函数A2=[+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1]/2■小波系数（细节2）wd2=[-6-3-6-8]/2按照原始信号分辨率扩展，d2=wd2’×D2s每二个平均的差值d2=[-6-6+6+6-3-3+3+3-6-6+6+6-8-8+8+8]/4wd2’=[-6-6-6-6-3-3-3-3-6-6-6-6-8-8-8-8]/2扩展基函数D2=[+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1]/2■小波系数（细节1）wd1=[+1+1-4+3+1+1-2-6]/sqrt(2)按照原始信号分辨率扩展，d1=wd1’×D1s每单双数的差值d1=[+1-1+1-1-4+4+3-3+1-1+1-1-2+2-6+6]/2wd1’=[+1+1+1+1-4-4+3+3+1+1+1+1-2-2-6-6]/sqrt(2)扩展基函数D1=[+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1]/sqrt(2)■恢复：s1=a2+d2+d1;s1=s=[6598378565981339]16点HAAR小波分解与恢复例子其中：30原始信号16点16点原始信号[6598378565981339]31两级小波系数16点原始信号小波系数原始信号(红)两级小波系数wd1wd2|wd2||wd1|3216点信号的Haar小波近似值和细节分解两级分解33小波去噪声一般噪声特点：（1）高频成分（细节），（2）幅度小：用阈值；去噪声过程：去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。对2级小波，设定2个阈值，称“阈值2”和“阈值1”。去除1级噪声：去除1级小波细节分解中小于“阈值1”部分。去除2级噪声：去除2级小波细节分解中小于“阈值2”部分。恢复：将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号34噪声去除两级分解噪声去除，括号内保留部分数据原始信号(红),去噪后(黄)wd1两级小波系数wd235小波去噪声16点[6598378565981339]|wd1|1级去噪前绝对值|wd1|1级去噪后绝对值|wd2|2级去噪后绝对值|wd2|2级去噪前绝对值原始信号(红),去噪后(黄)1级细节小波系数2级细节小波系数0.707×[1,1,-4,3,1,1,-2,-6]0.5×[-6,-3,-6,-8]两级小波系数阈值1wd1wd2阈值236Haar小波去噪声（16点信号）16点原始信号[6598378565981339]小波去噪声两级分解37一维信号的小波变换例子2（电压曲线）通过MATLAB实现(wavemenu)波形图(MATLAB\toolbox\wavelet\wavedemo\leleccum.mat)是“电网监视的电压曲线”，有4570个点Haar小波变换38haar小波(s=a2+d2+d1)(wavemenu)leleccumLevel2(s-原始信号，a2-近似，d1-d2细节)1级细节分解(奇偶数值的差)2级细节分解(前2和后2的差)原始信号(红)2级近似分解值2级小波分解波形中的毛刺(见下页)391级细节分解(奇偶数值的差)2级细节分解(前2和后2的差)原始信号(红)2级近似分解值2级小波分解（放大）波形中的毛刺40图-5haar(s=a5+d5+..+d1)(wavemenu)leleccumLevel5a5-近似，d5-d1细节附录-5(wavemenu)leleccumhaarLevel5leleccum.mat是有36560个点的一维电压信号(s-原始信号，a1-近似，d1-细节)信号前2和后2的差---细节2信号奇偶数值的差---细节1原始信号信号---近似值5级小波分解41小波去噪声leleccumhaar小波两级小波系数1级细节小波系数2级细节小波系数黄虚线表示阈值wd1wd2原始信号(红),去噪后(黄)|wd1|1级去噪前绝对值|wd1|1级去噪后绝对值|wd2|2级去噪后绝对值|wd2|2级去噪前绝对值42小波压缩leleccumhaar黄虚线表示阈值1级细节小波系数2级细节小波系数wd1wd2原始信号(红),压缩后(黄)两级小波系数|wd1|1级去噪前绝对值|wd1|1级去噪后绝对值|wd2|2级去噪后绝对值|wd2|2级去噪前绝对值43小波压缩效果leleccumhaar黄色虚线—全局阈值（自动分配两级阈值）紫色线—相对能量百分比（能量尽量保持）绿色线—零数目百分比(零数目愈大，压缩愈明显)443、小波分析在图象处理中的应用图象是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。（1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换。（2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换。小波变换用于图象压缩有良好的