第9讲 第2章第6节 置换群

近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第9讲第6节置换群定义1：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。定义2：一个有限集合的若干个置换构成的群称为一个置换群。定义3：一个含有n个元素的有限集合的所有置换构成一个群，称为n次对称群。记作Sn一、置换和置换群定理2任何有限群都同一个置换群同构。定理1：n次对称群Sn的阶是n！。注：置换群是有限群。二、置换的矩阵表示1,2,,An1212nnppp12:1,2,,nppnp置换可表示为12,,,nppp其中是1,2,,n的全排列.考虑任意有限集合，不妨设称作一个n阶置换或n次置换。注：一个n阶置换可以有n!种不同的表示形式。例11,2,3A　0123123　　　　　　　　1123132　　　　　　　　2123213　　　　　　　　3123231　　　　　　　　4123312　　　　　　　　　5123321　　　　　　　　3012345,,,,,S　设,求A的全体置换.三次对称群为：1256,1;11212,1221,SSSS完全类似地可有：关于置换的运算1.置换的乘积：1212,nnppp1212nnpppkkk1212nn12112npppn1212nnkkk1212nnppp2.单位（恒等）置换：3.置换的逆：注意：置换乘法没有交换律。如1123132　　　　　　　　5123321　　　　　　　　12331215315123123132321　　　　　　　　　　　　　　　　51123123321132　　　　　　　　　　　　　　　　1232315143S是有限非交换群.是最小的有限非交换群.因为我们3S而且，可以说后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。设是两个置换，其中则,naaan212111212nnaaa命题2则111(1)(1)11112(2)(2)11kknkknkknkknjjjjjjjjjjjjjjjj设命题11112(1)(1)(2)(2)11kknkknjjjjjjjjnS1i2i2ikii,,31i定义中的一个将变到，变到变回到，而其余元素（如果还有其他元素）不发生变化的置换，叫做k—循环(置换)或轮换，记为123231121)))（，（，，或（kkkkiiiiiiiiiiii注：循环置换的表示一般也不是唯一的。习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为(1)(2)(3)()n三、循环置换及置换的循环置换分解表示0123123　　　　　　　　1123132　　　　　　　　2123213　　　　　　　　3123231　　　　　　　　4123312　　　　　　　　　5123321　　　　　　　　3012345,,,,,S　例三次对称群为：3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S三次对称群中所有置换都是循环置换注：并不是每个置换都是循环置换。1234534521　　　　　　　　　　　　　　　　12345345211234512345(135)(24)3254114325　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　不是循环置换，但12,,,kiii12,,,sjjj设和都是循环置换,如果与不含相同元素，是不相连（交）的.则称与定义定理3每个置换都可表成不相连循环置换之积.121223112kssiiijjjabiiijjjab12,,,kiii证：注：将置换写成不相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.对其变动的数字个数作归纳1-循环)1(3-循环4-循环2-循环混合循环)34(),24(),23(),14(),13(),12()243(),234()143(),142(),134(),132(),124(),123()1432(),1423(),1342(),1324(),1243(),1234()23)(14(),24)(13(),34)(12(例：将S4中的置换写成循环置换乘积的形式。练习123456613542123456231654123456316452　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶（4）,四、循环置换的性质性质3两个不相连的循环置换是可以交换的.性质2k—循环置换的阶为k.性质4不相连的循环置换乘积的阶为各个阶的最小公倍数.性质111211kkkiiiiii